NOETHER MAX (1844-1921)

Mathématicien allemand, Max Noether a été un des meilleurs spécialistes en géométrie algébrique de la seconde moitié du xix^e siècle. Élève de Rudolf Clebsch, il a poursuivi le programme de ce dernier, c'est-à-dire la recherche de démonstrations purement géométriques des applications de la théorie de Riemann à la géométrie projective des courbes ; mais si Clebsch était un homme de formules et d'algorithmes, Noether était plus attiré par le contenu qualitatif des problèmes traités et s'est laissé guider par l'intuition géométrique.

Né à Mannheim, Noether dut, à l'âge de quatorze ans, interrompre sa scolarité à cause d'une attaque de poliomyélite, mais il acquit une très large culture grâce à des leçons privées. Il fit ses études universitaires à l'Observatoire de Mannheim (1865-1866) et aux universités de Heidelberg, de Giessen et de Göttingen (1868-1869). Il enseigna, de 1875 à 1921, à l'université d'Erlangen, ville dans laquelle il mourut. Trois de ses enfants embrassèrent des carrières scientifiques, dont Emmy Noether, la mathématicienne qui allait donner une grande rigueur et une généralité nouvelle à la géométrie algébrique.

Les travaux les plus importants et les plus originaux de Max Noether appartiennent à la première période de son activité scientifique, la décennie allant de 1869 à 1879. Les travaux publiés après 1880 ne sont en général que perfectionnements et compléments de ses recherches antérieures.

Le nom de Noether reste surtout attaché à son théorème fondamental (1873) : Si ϕ(x, y) et ψx, y) sont deux courbes algébriques qui se coupent en un nombre fini de points isolés, une courbe algébrique passant par tous ces points d'intersection s'exprime par une équation Aϕ + Bψ = 0, où A et B sont des polynômes en x et y. Ce théorème a donné lieu à de nombreuses recherches pour simplifier la démonstration d'une part, pour l'étendre aux fonctions à plusieurs variables d'autre part.

Renouant avec l'ouvrage de Clebsch et de Paul Gordan Theorie der Abelschen Funktionen (1866), Noether publia en collaboration avec A. von Brill l'ouvrage Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendungen in der Geometrie (1874), premier exposé de la géométrie des courbes n'utilisant que des méthodes de géométrie algébrique. On y trouve en particulier une démonstration algébrique du théorème de Riemann-Roch.

Les méthodes mises au point par Brill et Noether pour l'étude des courbes algébriques s'avérèrent si fécondes que Max Noether put les utiliser pour fonder la géométrie sur les surfaces algébriques. Il introduisit plusieurs invariants de surface — genre géométrique, genre linéaire, entre autres — lors de transformations birationnelles. Mais dès 1869, Clebsch avait suggéré à Noether l'étude des surfaces algébriques et la thèse de ce dernier avait porté sur le sujet (1870). Noether y démontra un théorème affirmant que chaque surface qui contient un faisceau rationnel de courbes rationnelles est rationnelle. La transformation birationnelle des surfaces était au centre de beaucoup de ses publications, mais le problème général a été traité par l'école italienne — Segré, Veronese, Enriques et Castelnuovo — au sein de laquelle s'est développée la géométrie algébrique vers la fin du siècle.

Lorsqu'en 1881 le concours pour le prix Steiner de l'Académie de Berlin proposa d'énumérer toutes les courbes algébriques gauches d'un ordre donné, Noether profita pour réunir et compléter ses recherches sur les propriétés de ces courbes ; il partagea le prix avec le Français Georges Halphen.

Un sujet très étudié dans la seconde moitié du xix^e siècle était celui des points singuliers des courbes algébriques planes. On avait pu réduire les courbes algébriques générales[...]