DIRICHLET PETER GUSTAV LEJEUNE- (1805-1859)
Article modifié le
Théorie des nombres
Dirichlet était un des rares mathématiciens de sa génération à connaître à fond les Disquisitiones arithmeticae de Gauss qui ne quittaient jamais sa table de travail et où il a puisé mainte inspiration : il est très souvent revenu aux problèmes de la théorie des formes quadratiques binaires et ternaires, et a généralisé cette théorie aux formes sur l'anneau des entiers de Gauss ; il a donné d'ingénieuses méthodes pour démontrer les évaluations asymptotiques de diverses fonctions arithmétiques (par exemple la moyenne du nombre de diviseurs des n premiers nombres entiers) indiquées sans démonstration par Gauss ; et parmi ses premiers travaux (publiés dès sa vingt et unième année) figure une démonstration de l'impossibilité en nombres entiers de l'équation x5 + y5 = z5.
Ses travaux les plus importants dans la théorie des nombres reposent sur deux principes nouveaux, qui sont demeurés jusqu'à nos jours d'une extraordinaire fécondité. Le premier est d'une simplicité déconcertante ; c'est le principe des tiroirs, d'après lequel si n + 1 objets sont arbitrairement répartis dans n casiers, il y aura toujours un de ces derniers qui contiendra deux objets au moins. Si banale que puisse sembler cette remarque, il est merveilleux de voir ce qu'en tire Dirichlet. Par exemple, soit θ un nombre irrationnel, et soit q un entier > 0 ; divisons l'intervalle 0 ≤ t ≤ 1 en q parties égales, et considérons les parties fractionnaires des multiples pθ de θ pour 0 ≤ p ≤ q (c'est-à-dire la différence entre pθ et le plus grand entier qui lui est inférieur). Aucun des nombres pθ n'est entier, et toutes les parties fractionnaires des pθ sont distinctes, puisque θ est irrationnel. Donc, parmi ces q + 1 nombres, il y en a deux au moins qui appartiennent à l'un des q intervalles en lesquels nous avons subdivisé l'intervalle 0 ≤ t ≤ 1. Autrement dit, on a, pour un entier k tel que 0 ≤ k ≤ q − 1 :
Accédez à l'intégralité de nos articles
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
Classification
Autres références
-
DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS
- Écrit par Marcel DAVID
- 4 515 mots
...pour des entiers ui et w. Ces deux problèmes duals l'un de l'autre sont également délicats. Le premier problème a été étudié initialement par Hermite, le second par Dirichlet. Une variante non homogène du deuxième problème consiste à rendre
-
DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS
- Écrit par Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE , Marcel DAVID et Encyclopædia Universalis
- 6 124 mots
- 1 média
Lamé, en 1837, établit le cas n = 7 après que Lejeune-Dirichlet ait démontré, en 1832, l'impossibilité pour n = 14. -
KRONECKER LEOPOLD (1823-1891)
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 2 105 mots
- 1 média
...premier connu après les groupes alternés). C'est lui aussi qui donna la forme générale du théorème d'approximation diophantienne simultanée de plusieurs nombres réels par des formes linéaires à coefficients réels et à variables entières, en étendant le « principe des tiroirs » de Dirichlet. -
KUMMER ERNST EDUARD (1810-1893)
- Écrit par Jean ITARD
- 1 200 mots
...élève Leopold Kronecker. Nommé, en 1842, à l'université de Breslau, il y enseigna jusqu'en 1855, date à laquelle il succéda à P. G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859) à l'université de Berlin. Il devint, la même année, membre effectif de l'Académie de Berlin, dont il était membre correspondant... - Afficher les 8 références
Voir aussi
