Abélienne

"abélienne" dans l'encyclopédie

• KRONECKER LEOPOLD (1823-1891)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 11 571 mots
  • 1 média

  (b) Ce corps Ω est une extension abélienne de K, non ramifiée (premier exemple connu de telles extensions de corps de nombres algébriques), et le groupe de Galois de Ω sur K est canoniquement isomorphe au groupe commutatif formé par les classes ti, d'où le nom de corps de classes donné à Ω. (c) Tout idéal du corps K devient dans Ω un idéal principal.

• SEVERI FRANCESCO (1879-1961)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 1 210 mots

  On lui doit d'importantes contributions à la théorie des variétés abéliennes (notamment la définition de ce qu'on appelle maintenant la variété d'Albanese), ainsi que la définition et l'étude des variétés quasi abéliennes, groupes algébriques définis comme extension d'une variété abélienne par un espace vectoriel. Il a enfin publié de nombreux ouvrages d'enseignement à tous les niveaux.

• COURBES ALGÉBRIQUES

  • Écrit par Luc GAUTHIER
  • 23 399 mots
  • 8 médias

  L'ensemble des séries linéaires complètes gip d'ordre p peut, par application du théorème du reste, être muni d'une structure de variété abélienne de dimension p : c'est la jacobienne de la courbe. La classe canonique et, par conséquent, le genre p ont été introduits d'une façon purement algébrique par Enriques, au moyen d'une construction tirée du jacobien.

• NOMBRES (THÉORIE DES) Vue d'ensemble

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 17 463 mots

  Ici encore, la formulation même de ce théorème fait intervenir la géométrie algébrique, et sa démonstration utilise un raisonnement de « descente infinie » sur la jacobienne de C (variété abélienne de dimension égale au genre de C). L. J. Mordell a conjecturé que, sous les hypothèses du théorème de Siegel, il n'y a même qu'un nombre fini de points de C à coordonnées rationnelles lorsque le genre de C est ≥ 2.

• ARTIN EMIL (1898-1962)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 7 251 mots

  Le cas classique, qui est celui où le groupe de Galois de l'extension K/k est abélien, a été pour la première fois abordé par Hilbert ; Artin a fait considérablement progresser cette théorie. Un de ses résultats les plus importants dans ce domaine est une loi générale de réciprocité qui redonne, comme cas très particulier, la loi de réciprocité quadratique de Gauss et permit à Artin de ramener une célèbre conjecture de Hilbert, le théorème des idéaux principaux (« Tout idéal devient principal dans la plus grande extension abélienne non ramifiée » : Hauptidealsatz), à un argument de théorie des groupes, démontré quelques années plus tard.