Algèbre

"algèbre" dans l'encyclopédie

• ALGÈBRE

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 39 281 mots

   »Tout au long du xixe siècle va se développer ce processus d'axiomatisation de l'algèbre qui aboutit aux structures actuelles. Si, dès 1850, les mathématiciens anglais ont dégagé avec une parfaite netteté la notion de loi de composition et l'appliquent à des situations variées (vecteurs, matrices, algèbre de la logique), il faudra attendre 1910 pour trouver dans la vaste synthèse de Steinitz l'exposé abstrait qui marque le début de l'algèbre moderne proprement dite.

• ALGÈBRE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L' ou THÉORÈME DE D'ALEMBERT

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 1 935 mots

  Huit ans plus tard, il en tire une preuve remarquable de simplicité (mais néanmoins entachée de quelques imprécisions) de ce qu'on appelle le théorème fondamental de l'algèbre. Argand cite ce théorème sous la forme : « tout polynôme xn + a xn—1 + ... est décomposable en facteurs du premier ou du second degré ». Argand range les démonstrations précédentes en deux classes : « Les unes se fondent sur certains principes métaphysiques relatifs aux fonctions et aux renversements d'équations, principes sans doute vrais en eux-mêmes, mais qui ne sont point susceptibles d'une démonstration rigoureusement dite.

• LINÉAIRE ALGÈBRE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 71 246 mots

  Pour toute application linéaire U de E dans F et pour toute application linéaire V de F dans G : Algèbre des matrices carrées d'ordre n. Muni des trois opérations précédentes, l'ensemble Mn(K) est une algèbre associative unitaire. L'élément unité est la matrice : Soit E un espace vectoriel sur K, et B une base de E. L'application U ↦ MB(U) est un isomorphisme de l'algèbre unitaire L(E) sur l'algèbre unitaire Mn(K).

• BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 3 338 mots
  • 1 média

  On peut également rattacher la théorie des algèbres de Boole à celle des ensembles ordonnés en observant que l'on peut définir un ordre canonique sur toute algèbre de Boole en posant : Exemples d'algèbre de Boole. 1. Pour tout ensemble X, l'ensemble P(X) des parties de X devient une algèbre de Boole si on pose : Il résulte d'un théorème fondamental, dû à M.

• ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 27 690 mots
  • 1 média

  , Xn] des polynômes à n variables à coefficients dans A est un anneau commutatif ; si A = K est un corps, alors l'anneau des polynômes à coefficient dans K est une algèbre sur K. Un exemple fondamental d'algèbre non commutative est constitué par l'algèbre L (E) des endomorphismes d'un espace vectoriel E ; si E est de dimension finie n, alors cette algèbre est isomorphe à l'algèbre des matrices carrées d'ordre n, à n lignes et n colonnes.