Bidual

"bidual" dans l'encyclopédie

• BANACH STEFAN (1892-1945)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 8 789 mots

  Banach étudie aussi de manière détaillée les rapports entre une application linéaire et sa transposée, retrouvant, comme cas particulier, les résultats classiques sur les équations intégrales ; il dégage également le lien entre la compacité faible de la boule unité de l'isomorphisme entre un espace vectoriel E et son bidual E″ = (E′)′ (réflexivité).

• ALGÈBRE

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 39 294 mots

  qui sont isomorphes à leur bidual topologique. Vers 1932, la théorie des espaces normés est à peu près achevée avec le livre de Banach, Théorie des opérations linéaires. Une notion telle que la convergence simple d'une suite de fonctions dans un espace fonctionnel n'est pas associée à une norme, et il était nécessaire de considérer sur des espaces vectoriels des notions de convergence plus générales que celles définies par des normes, situation étudiée pour la première fois par Fréchet.

• LINÉAIRE ALGÈBRE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 71 258 mots

  Alors l'application linéaire canonique χ de E dans son bidual E** est un isomorphisme. Soit en effet x un élément du noyau de χ. Alors, pour toute forme linéaire y* sur E, Choisissons une base B = (ej)1≤j≤n de E. En prenant successivement pour y* les n formes linéaires coordonnées ei*, nous voyons que toutes les composantes de x sont nulles, et donc que x = 0, ce qui montre que l'application linéaire χ est injective.