Demi-axe

"demi-axe" dans l'encyclopédie

• FONCTIONS ANALYTIQUES Représentation conforme

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 29 064 mots
  • 10 médias

  L'image de la demi-droite x = 0, y > 0 est le demi-axe réel négatif. De plus, la droite y = b(b > 0) est transformée en la parabole :qui a pour axe l'axe réel ; son foyer est en O et son sommet d'ordonnée négative. Les paraboles de la famille (1) sont évidemment toutes orthogonales à celles de la famille (2). Remarquons que l'application conforme considérée se prolonge continûment à la frontière y = 0 du domaine (en fait z ↦ z2 est holomorphe dans le plan tout entier, mais non injective) ; l'image de cette frontière est la frontière du domaine image (le demi-axe réel positif).

• RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 16 497 mots

  Notons ln la détermination principale du logarithme complexe (holomorphe sur le complémentaire du demi-axe réel négatif, et de partie imaginaire comprise entre ± π), et L le chemin suivant décrit par le point z = x + iy = reiθ : d'abord x décroît de + ∞ à 0, y restant égal à 1 ; puis θ croît de π/2 à 3 π/2, r restant égal à 1 ; enfin x croît de 0 à + ∞, y restant égal à − 1.

• NOMBRES COMPLEXES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 18 817 mots
  • 2 médias

  Les images des éléments de U sont les points du cercle de centre O et de rayon 1 (appelé souvent « cercle trigonométrique ») ; l'application qui au nombre complexe u ∈ U, d'image M, fait correspondre l'angle A(u) du demi-axe réel positif avec la demi-droite OM est un isomorphisme du groupe multiplicatif U sur le groupe additif des angles orientés de demi-droites et pourrait d'ailleurs servir à donner une définition rigoureuse de ces angles.

• FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 70 099 mots
  • 9 médias

  On appelle détermination principale du logarithme de z la détermination analytique du logarithme, définie pour x non réel ≤ 0, qui prend la valeur 0 pour z = 1 ; la détermination correspondante de l'argument prend ses valeurs entre − π et + π et la détermination principale réalise une bijection du plan complexe privé du demi-axe réel négatif sur la « bande » formée des nombres complexes Z = X + iY tels que − π < Y < + π (cf.