Diagonalisation

"diagonalisation" dans l'encyclopédie

• CHURCH ALONZO (1903-1995)

  • Écrit par Françoise ARMENGAUD
  • 3 381 mots

  Pourrait-on imaginer une technique générale pour déterminer la vérité ou la probabilité de ce genre de propositions ? Church démontre par la méthode de diagonalisation qu'il n'en est rien. Non seulement une technique générale est introuvable, mais la supposition de son existence entraînerait une absurdité. En cela, l'arithmétique diffère du calcul propositionnel, décidable par tables de vérité, mais non du calcul des prédicats dans son ensemble.

• SCHRÖDINGER ERWIN (1887-1961)

  • Écrit par Pierre COSTABEL
  • 17 671 mots
  • 1 média

  D'après cette interprétation, la loi de multiplication non commutative des matrices qui constituent l'outil mathématique de Heisenberg a un analogue dans l'expression du crochet de Poisson qui est l'outil analytique de la dynamique de Hamilton-Jacobi, et il en résulte que l'opération dite hamiltonienne, qui consiste à prendre le crochet de Poisson pour H et pour toute fonction ψ de Schrödinger, donne pour résultat : Sous cette nouvelle forme de l'équation de Schrödinger, il apparaît que la signification profonde de la formule mathématique correspondante se réduit à admettre pour un système de particules quantiques non relativistes un opérateur d'énergie (hamiltonien) d'expression classique (c'est-à-dire somme d'un terme cinétique, fonction des quantités de mouvement, et d'un terme potentiel, fonction des positions), mais susceptible d'être symétrisé de manière à permettre aisément la diagonalisation de sa matrice.

• NUMÉRIQUE ANALYSE

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 35 092 mots

  Ainsi, en algèbre linéaire, les méthodes itératives sont employées pour la résolution des systèmes (méthode de relaxations successives, de Gauss-Seidel, de Jacobi), pour la recherche des valeurs propres dominantes (quotient de Rayleigh) et pour la diagonalisation des matrices. Le discret et le continu. Fondamentalement, l'analyse numérique établit un rapport organique entre le continu et le discret.

• RÉCURSIVITÉ, logique mathématique

  • Écrit par Kenneth Mc ALOON, Bernard JAULIN et Jean-Pierre RESSAYRE
  • 49 033 mots

  Il en va de même pour les questions que soulève la première proposition dont la démonstration s'effectue par diagonalisation sur l'ensemble des fonctions « faciles » à calculer. On peut ainsi, par exemple, rechercher des propriétés arithmétiques, analytiques, etc., des fonctions caractéristiques des sous-ensembles récursifs de N qui impliqueraient une grande complexité de calcul.

• SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

  • Écrit par Alain CHENCINER
  • 54 079 mots
  • 19 médias

   + (− 1)nCn, où Ci est le nombre de points singuliers de f d'indice i (l'indice d'un point singulier est l'indice de la forme quadratique des dérivées secondes en ce point, c'est-à-dire le nombre de carrés négatifs dans une diagonalisation). L'exemple le plus simple est la restriction à la sphère unité de Rn+1 de l'une des fonctions coordonnées : il y a deux points critiques, un minimum d'indice 0 et un maximum d'indice n ; la caractéristique d'Euler est donc 1 + (− 1)n = 0 si n est impair, 2 si n est pair.