Différentiabilité

"différentiabilité" dans l'encyclopédie

• THÉORIE DES DISTRIBUTIONS (L. Schwartz)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 1 096 mots

  L'exigence de différentiabilité amène Schwartz à étudier de nouveaux types d'espaces vectoriels topologiques qui permettront des progrès notables dans divers domaines de l'analyse, comme la théorie des équations différentielles partielles ou les fonctions de plusieurs variables complexes. Schwartz reçut la médaille Fields en 1950 pour ce travail.

• WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 12 254 mots

  Fonctions d'une variable complexe Dans l'étude des fonctions d'une variable complexe, contrairement à ses prédécesseurs, Weierstrass fait jouer le principal rôle aux développements tayloriens : c'est ce qu'on appelle le point de vue de Weierstrass, où holomorphie est synonyme d'analyticité, tandis qu'au point de vue de Cauchy l'holomorphie est la différentiabilité pour la structure complexe.

• CONVEXITÉ Fonctions convexes

  • Écrit par Robert ROLLAND
  • 14 569 mots
  • 6 médias

  Le résultat suivant donne une condition intéressante de sous-différentiabilité d'une fonction convexe : Si f est finie et continue en un point x0, f est sous-différentiable en tout point intérieur de dom( f ) et en particulier en x0. Dans le cas où f est Gâteaux-différentiable en x0, c'est-à-dire s'il existe un élément f ′(x0) de E* tel que, pour tout y de E, on ait :la fonction f est sous-différentiable en x0 et f ′(x0) est l'unique sous-gradient de f en x0.

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

  • Écrit par Martin ZERNER
  • 29 520 mots

  Mais k peut être choisi aussi grand qu'on veut, d'où l'indéfinie différentiabilité de E en dehors de l'origine. Ce raisonnement s'adapte d'ailleurs au cas général des opérateurs hypoelliptiques à coefficients constants, à condition de savoir que, si P(∇) est hypoelliptique, P(iξ) croît à l'infini comme une puissance strictement positive de ∥ξ∥. Cette propriété se démontre grâce à une combinaison du développement de Puiseux et du théorème de Tarski-Seidenberg (l'image par une application polynomiale d'un ensemble défini par des équations et inéquations polynomiales est un ensemble de même nature).

• NUMÉRIQUE ANALYSE

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 35 092 mots

  Ici les résultats qualitatifs (continuité, différentiabilité) ne suffisent pas et on a besoin de majorations explicites, par exemple de type lipschitzien. Si la condition de stabilité est satisfaite, on dit parfois que le problème est bien posé. Ce concept de stabilité intervient aussi dans l'étude des perturbations. Soit à étudier le comportement des solutions d'un problème Pλ où intervient un paramètre « petit » λ.