Diophantien

"diophantien" dans l'encyclopédie

• DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID et Encyclopædia Universalis
  • 33 678 mots
  • 1 média

  Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un aspect vraiment arithmétique, c'est-à-dire faisant pleinement intervenir la factorisation des nombres entiers, une longue tradition appelle équation diophantienne la donnée d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers :à résoudre en nombre entiers, ou rationnels, x1, .

• DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

  • Écrit par Marcel DAVID
  • 24 827 mots

  La théorie des approximations diophantiennes concerne principalement l'approximation des irrationnels par des rationnels. Dans le cas d'un seul irrationnel, un rôle essentiel est joué par les fractions continuées (utilisées dès 1650 par Huygens pour le calcul des engrenages des horloges astronomiques). L'approximation des irrationnels algébriques fut étudiée par une méthode directe en 1844 par Liouville ; ses résultats furent améliorés à de nombreuses reprises jusqu'à l'important et définitif résultat de Roth en 1955.

• NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 25 727 mots

  On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne qu'une information insuffisante pour le problème initial ; on la raffine en étudiant les équations modulo pm pour tous les entiers m ≥ 1.

• RÉCURSIVITÉ, logique mathématique

  • Écrit par Kenneth Mc ALOON, Bernard JAULIN et Jean-Pierre RESSAYRE
  • 49 033 mots

  Plus précisément, on dit qu'un sous-ensemble de Np est polynomial si ses éléments sont les solutions d'un polynôme de p variables à coefficients dans Z, et qu'un sous-ensemble de Nk, k ∈ N, est diophantien si c'est la projection d'un ensemble polynomial de Np+k. On a alors le théorème suivant. Théorème de Matijasevič. Un ensemble X de Nk est récursivement énumérable si et seulement s'il est diophantien.

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
  • 81 014 mots
  • 2 médias

  Le mathématicien allemand David Hilbert a ouvert la voie à plusieurs générations de chercheurs et a joué un rôle important dans l'élaboration des idées, non seulement dans sa spécialité, mais dans le cadre d'une réflexion générale sur la science.Alors que sa contribution à la physique a été un simple épisode, Hilbert a été, avec H. Poincaré, le mathématicien qui a exercé la plus forte influence de 1900 à 1950, et son nom est associé à de nombreux termes mathématiques et théorèmes (espace de Hilbert, symbole de Hilbert en théorie des nombres, théorème des zéros de Hilbert, théorème fondamental de Hilbert, etc.