Finitiste

"finitiste" dans l'encyclopédie

• FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

  • Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
  • 8 204 mots

  De même, l'énoncé qui affirme la cohérence d'une théorie formalisée est un énoncé finitiste : il affirme, de tout assemblage x qui est une démonstration dans cette théorie, qu'il ne se termine pas par la formule „0 = 1“. Autrement dit, le domaine finitiste contient, en principe, tous les concepts et les raisonnements qui peuvent être utilisés pour examiner les propriétés „syntaxiques“ des théories mathématiques, c'est-à-dire les propriétés qui ne dépendent que de la forme des symboles qui y figurent, par opposition aux propriétés, comme la „vérité“, qui dépendent de la référence associée à ces symboles.

• INFINI RÉGRESSION À L'

  • Écrit par Encyclopædia Universalis
  • 4 613 mots

  Pas plus la thèse finitiste que l'antithèse infinitiste ne peuvent se démontrer directement : au moyen d'un raisonnement hypothétique chacune réfute l'adverse. Mais que les thèses posent l'inconditionné, ou que les antithèses déploient la série infinie des conditions, toutes oublient que notre expérience s'inscrit à l'intérieur d'un temps successif, d'un espace où les parties extérieures se juxtaposent indéfiniment ; l'idée d'un Cosmos donné comme totalité ou comme série infinie déployée est une « idée transcendantale » que la raison pose au-delà des conditions de possibilité de notre expérience.

• GÖDEL KURT (1906-1978)

  • Écrit par Daniel ANDLER
  • 12 604 mots

  Dans une lettre de 1967 à Hao Wang, Gödel voit dans l'étrange cécité manifestée par ses prédécesseurs à l'égard de la complétude l'effet de leur obstination à n'admettre de raisonnement non finitiste que « justifiable » ou « interprétable » en termes finitistes. Il ajoute : «  Ma conception objectiviste des mathématiques et de la métamathématique en général, et du raisonnement transfini en particulier, n'a pas joué dans mes autres travaux de logique un rôle moins fondamental.

• TARSKI ALFRED (1902-1983)

  • Écrit par Jan SEBESTIK
  • 5 908 mots

  Tarski a toujours accepté sans restriction, comme base de son travail logico-mathématique, la théorie des ensembles et il n'hésitait pas à recourir à des théories très fortes – ce qui lui a donné une liberté que s'interdisaient aussi bien Brouwer et les intuitionnistes que l'école de la métamathématique finitiste (Hilbert). C'est sans doute grâce à cette liberté qu'il a pu développer sa méthode sémantique et relier, dans ses travaux, la théorie des ensembles, la logique, l'algèbre et la topologie.

• CONSTRUCTIVISME, mathématique

  • Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
  • 7 547 mots

  Les résultats obtenus dans cette voie, que l'on pourrait résumer en disant que les mathématiques applicables « de notre temps » peuvent être développées dans des extensions conservatives de l'arithmétique finitiste que visait David Hilbert (1862-1943), fournissent indiscutablement un argument de poids au réductionnisme constructiviste. Un autre chantier reste ouvert au constructivisme, qui s'est jusqu'ici presque toujours défini en référence à des constructions ou à des calculs réalisables « en principe », l'important étant l'existence d'une « méthode » permettant d'engendrer l'objet, et non pas la possibilité pratique, pour une créature en chair et en os, de conduire jusqu'à son terme l'application de cette méthode.