Hermitien

"hermitien" dans l'encyclopédie

• HILBERT ESPACE DE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 17 770 mots

  Tout espace hermitien de dimension finie admet au moins une base orthonormale. La démonstration s'effectue par récurrence sur la dimension de l'espace hermitien E. Soit donc E un espace hermitien de dimension strictement positive n. Choisissons un vecteur unitaire e1. L'ensemble H des vecteurs orthogonaux à e1 est un hyperplan de E, car c'est le noyau de la forme linéaire non nulle x ↦ (x|e1).

• ORTHOGONAUX POLYNÔMES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT
  • 12 400 mots

  Soit CI(p) l'espace vectoriel des fonctions f à valeurs complexes continues sur I telles que : On munit CI(p) du produit hermitien :  L'espace hermitien CI(p) n'étant pas complet, on est amené à le considérer comme un sous-espace vectoriel L2I(p) des classes de fonctions f mesurables sur I à valeurs complexes et telles que : Muni du produit hermitien précédent, L2I(p) est un espace hilbertien.

• GROUPES (mathématiques) Représentation linéaire des groupes

  • Écrit par Everett DADE
  • 19 986 mots

  Un espace hilbertien V est un espace vectoriel sur les nombres complexes C muni d'un produit hermitien (u | v) (c'est-à-dire une application de V × V dans C telle que l'application u ↦ (u | v) est linéaire pour tout v dans V, (u | v) = (v | u) pour tout u et v dans V, et (u | u) est un nombre réel strictement positif pour tout u ≠ 0 dans V) et complet pour la norme ∥v∥ = (v | v)1/2 définie par ce produit hermitien.

• SPECTRALE THÉORIE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 25 733 mots

  On notera que le théorème précédent s'applique au cas d'un endomorphisme normal u d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie. Dans ce cas, le spectre de u est fini, et les familles sommables intervenant dans les formules de décomposition spectrale se réduisent à des sommes finies. Il existe alors une base orthonormale de E constituée de vecteurs propres de u.

• INTÉGRALES ÉQUATIONS

  • Écrit par Michel HERVÉ et Encyclopædia Universalis
  • 13 529 mots

  On remarque, à ce sujet, que C(A) n'est pas complet : pour un opérateur intégral K dans C(A), associé à un noyau K hermitien mais non noyau de Goursat, donc possédant une suite de valeurs spectrales, on a pourtant le remarquable théorème de Hilbert-Schmidt, d'après lequel la deuxième série (12) converge uniformément vers la fonction Ky.