Hilbertien
Définition
- en mathématiques, (d'après le nom de David Hilbert, mathématicien) qualifie un type d'espace vectoriel
"hilbertien" dans l'encyclopédie
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HILBERT ESPACE DE
- Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
- 17 770 mots
Toute famille orthonormale d'éléments d'un espace hilbertien E peut être complétée en une base hilbertienne de E. En particulier, tout espace hilbertien admet au moins une base hilbertienne (ei), i ∈ I. L'applicationest alors un isomorphisme de l'espace hilbertien l2(I) sur E. On démontre aussi que deux bases hilbertiennes d'un espace hilbertien E sont équipotentes.
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SPECTRALE THÉORIE
- Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
- 25 733 mots
Il en est ainsi de l'endomorphisme de multiplication par une fonction continue non constante à valeurs réelles dans l'espace hilbertien L2([a, b]) des classes de fonctions de carré intégrable sur [a, b]. Toutefois, lorsque u est à la fois compact et normal, la théorie de Riesz prend la forme achevée que voici : Théorème spectral. Soit u un endomorphisme compact et normal d'un espace hilbertien E.
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FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique
- Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
- 8 204 mots
En matière de représentabilité dans l'intuition, il est en effet clair qu'un nombre comme 101000 est problématique et que, de manière plus générale, lorsqu'on adopte le point de vue de ce qui est „humainement“ ou „pratiquement“ „faisable“, les principes du finitisme hilbertien paraissent hautement idéalisés. Ce point de vue se heurte néanmoins au paradoxe suivant, similaire à l'antique paradoxe du „tas“ et rebaptisé par Michael Dummett (né en 1925) „paradoxe de Wang“ : puisque 0 est certainement un nombre „cognitivement accessible“ et qu'il n'y a pas de raison de supposer que le successeur d'un nombre accessible soit inaccessible, aucun nombre ne devrait être considéré comme inaccessible.
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INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
- 10 938 mots
Aux yeux du mathématicien traditionnel, les nombres premiers que l'on obtient ainsi ne le sont pas du tout, car aucune démonstration au sens hilbertien n'est déductible du test. Cependant, peut-on avoir des doutes sérieux sur la nature première des nombres proposés lorsque le risque d'erreur est très petit, par exemple inférieur à la probabilité de gagner cent fois consécutivement au LOTO® ? Sur un plan pratique, d'ailleurs, l'industrie et la banque, dont on connaît les exigences en matière de sécurité, utilisent ces algorithmes en toute confiance : chaque jour, des milliers de nombres premiers sont produits par ces méthodes et servent à faire fonctionner les protocoles cryptographiques utilisés pour sécuriser les échanges de données sur les réseaux informatiques.
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NORMÉES ALGÈBRES
- Écrit par Jean-Luc SAUVAGEOT et René SPECTOR
- 25 661 mots
(2) est un exemple de C*-algèbre non commutative (si H est l'espace hilbertien de dimension 2, on obtient la plus petite de celles-ci, l'algèbre des matrices 2 × 2, qui est de dimension 4). L'exemple (2′) est universel : toute C*-algèbre est isomorphe à une sous-algèbre involutive fermée d'un L(H) (mais il n'y a pas de manière privilégiée de la représenter ainsi).