Hilbertienne
- Nom féminin singulier
Définition
- en mathématiques, (d'après le nom de David Hilbert, mathématicien) qualifie une forme d'espace vectoriel
"hilbertienne" dans l'encyclopédie
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ORTHOGONAUX POLYNÔMES
- Écrit par Jean-Louis OVAERT
- 12 400 mots
Lorsque l'intervalle I n'est pas borné, il peut arriver que (Pn) ne soit pas une base hilbertienne, par exemple si p (x) = exp (−|x|α), où α ∈ ]0, 1[. Cependant, lorsque p est à décroissance exponentielle, c'est-à-dire lorsque p est dominée par une fonction de la forme x ↦ exp (− α|x|), où α > 0, au voisinage de ± ∞, la suite est une base hilbertienne de L(2I p) et a fortiori de CI(p).
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HILBERT ESPACE DE
- Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
- 17 770 mots
Toute famille orthonormale d'éléments d'un espace hilbertien E peut être complétée en une base hilbertienne de E. En particulier, tout espace hilbertien admet au moins une base hilbertienne (ei), i ∈ I. L'applicationest alors un isomorphisme de l'espace hilbertien l2(I) sur E. On démontre aussi que deux bases hilbertiennes d'un espace hilbertien E sont équipotentes.
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SPECTRALE THÉORIE
- Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
- 25 733 mots
La théorie précédente s'applique aussi au cas des endomorphismes de puissance p-ième nucléaire : étant donné un espace hilbertien E et un endomorphisme hermitien positif h, le nombre :est indépendant du choix d'une base hilbertienne (ei), i ∈ I, de E. Ce nombre s'appelle trace de h et se note tr(h). Soit maintenant p un nombre réel supérieur à 1, E et F deux espaces hilbertiens et u un élément de L(E, F).
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INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
- 10 938 mots
Dans chaque cas, nous verrons que l'idée de la démonstration hilbertienne – des axiomes et des règles de raisonnement, codifiés une fois pour toutes, fixant ce que l'on considère comme vrai – est remise en cause comme seul moyen d'atteindre la certitude mathématique. Preuves probabilistes de primalité La cryptographie a fréquemment besoin de grands nombres premiers (de cent chiffres décimaux et plus) et aucune méthode sûre ne permet aujourd'hui d'en produire dans un délai raisonnable.
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LA PREUVE EN MATHÉMATIQUE (colloque)
- Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
- 6 160 mots
Évoquons quelques points à propos et à la faveur desquels il semble que l'on puisse diverger, ce qui permet aux sensibilités incompatibles de s'exprimer : – La mise en forme hilbertienne de la mathématique, autrement dit la conception de la mathématique comme un système formel, a-t-elle fonctionné comme un principe de fermeture pour le développement de la mathématique, ou était-elle la méthode même de l'ouverture ? – La vision intuitionniste de la mathématique privilégiant la preuve sur la vérité est-elle incontournable ? Rencontre-t-elle des problèmes internes insurmontables ? Permet-elle de récupérer certaines grandes idées de Frege ou de les discuter ? Peut-elle être le cheval de Troie d'une reconquête de la citadelle logico-mathématique par une philosophie transcendantale d'inspiration kantienne ou husserlienne ? – La philosophie de la mathématique doit-elle porter attention à l'architecture extraordinairement complexe de certaines preuves contemporaines, de même qu'à l'histoire sinueuse et multiplement déterminée de l'acquisition des preuves et des concepts – plus généralement se soucier de la mathématique vivante, de ce qu'elle pense et imagine – ou s'en tenir à la tâche de la reconstruction logique et formelle de la meilleure vérité possible, en ne traitant que des théories de base, mises en jeu pour les fondements ? – Des notations symboliques et une projection logique des thèses sont-elles toujours un facteur d'éclaircissement ? Quels enseignements peuvent être tirés de la confrontation de l'activité de preuve du mathématicien concret avec les systèmes logiciels de démonstration automatique ou d'aide à la démonstration formelle ? Quelle place, logique et philosophique, donner à la question de l'accessibilité concrète des preuves, de leur longueur et de leur caractère « supervisable » ? – La description de ce que les mathématiciens voient ou nous invitent à voir, ou encore de la dimension cognitive de la preuve en mathématique, tombe-t-elle du côté de l'inessentiel psychologique dénué de valeur justificative, ou éclaire-t-elle à un niveau profond la preuve et sa mise en œuvre ? – La mathématique est-elle soumise à un impératif implicite de purification des preuves historiquement données en vue de l'obtention de preuves conceptuellement et logiquement « immanentes » à ce qu'il s'agit de prouver ? Ou un tel objectif est-il critiquable, soit pour raison d'impraticabilité, soit parce qu'il ferait tort à une autre légitimité conceptuelle et logique ? Quel peut et doit être le rôle de l'histoire pour fonder et déterminer une telle légitimité alternative ? Dans bien des cas et de bien des manières, la discussion autour de ces questions, comme on a pu le voir au cours du colloque, suscite des engagements intellectuels irréconciliables, et ce d'autant plus, apparemment, que personne ne contrôle réellement le fond des problèmes.