Lemniscatique

"lemniscatique" dans l'encyclopédie

• GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par Pierre COSTABEL et Jean DIEUDONNÉ
  • 26 870 mots

   Comme, à l'époque même où Gauss introduisait le « sinus lemniscatique » x = sin lemn ϕ, qui donne « l'inversion » de :il étudiait aussi, ainsi que nous l'avons vu, les équations de la division du cercle, il avait aussitôt par analogie considéré le problème de la détermination de x connaissant le nombre y = sin lemn (nϕ). Si ω et ω′ sont les deux périodes de sin lemn, il est clair que, pour toute solution x = sin lemn (ϕ), on aura aussi les solutions où ϕ est remplacé par (kω + k′ω′)/n (où k et k′ sont des entiers), d'où n2 solutions, alors que l'équation analogue de la division du cercle n'a que n solutions.

• NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 71 498 mots

  Lorsque cela se produit, on dit que la fonction elliptique admet de la multiplication complexe ; Gauss a rencontré cette situation dès la fin du xviiie siècle, à propos de la fonction elliptique x = sl u (« sinus lemniscatique ») qui inverse l'intégrale :(son module J vaut 1 ; cf. c. f. gauss) ; comme sl (iu) est égal à i sl u, la fonction sl admet de la multiplication complexe par tous les entiers de Gauss m + ni, où m, n ∈ Z.