Lipschitzienne

"lipschitzienne" dans l'encyclopédie

• MÉTRIQUES ESPACES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 33 448 mots
  • 1 média

  Un cas particulier de cette situation est fourni par les applications lipschitziennes : on dit que f est lipschitzienne de rapport k si on a :quels que soient x, y dans E ; ainsi l'image réciproque par f de la boule de centre f (x) et de rayon r contient la boule de centre x et de rayon r/k. Par exemple, on a vu plus haut que, pour toute partie A de E, l'application qui à x ∈ E associe sa distance à A est lipschitzienne de rapport 1.

• FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 101 518 mots
  • 6 médias

  On suppose : a) la suite (fn) converge simplement vers f sur A ; b) la suite (fn) est équilipschitzienne dans un rapport k, c'est-à-dire : Alors, la fonction limite f est k-lipschitzienne et la convergence est uniforme sur A. 2. Cas des suites monotones (théorème de Dini). Soit encore A métrique compact et fn : A → R+. On suppose : a) pour tout n, la fonction fn est continue sur A ; b) la suite (fn) est décroissante, c'est-à-dire fn+1(x) ≤ fn(x) pour tout x ∈ A ; c) la suite (fn) converge simplement vers 0.

• NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par Robert ROLLAND et Jean-Luc VERLEY
  • 32 152 mots

  Ainsi, la continuité en un seul point (on se ramène à l'origine par translation) entraîne que u est uniformément continue (et même lipschitzienne, cf. espaces métriques, chap. 2), car on a (la linéarité est bien entendu ici essentielle) : u(x) − u(y) = u(x − y), d'où : Cette importante propriété rend les applications linéaires continues redevables des résultats relatifs aux applications uniformément continues.

• DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

  • Écrit par Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU et Encyclopædia Universalis
  • 64 000 mots

  En particulier si l'on prend pour E l'espace Rn et si f (x, t) est une fonction continue de Rn × R dans Rn, lipschitzienne en x, on peut définir x(t, x0) la solution unique du système : dx/dt = f (x, t ), x(0, x0) = x0, puis la famille d'opérateurs Ft : Rn → R définie par Ft(x0) = x(t, x0), laquelle constitue un système dynamique au sens de la définition donnée plus haut.