Méromorphe

"méromorphe" dans l'encyclopédie

• FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 17 032 mots
  • 1 média

  Une fonction holomorphe ou méromorphe (c'est-à-dire quotient de deux fonctions holomorphes) sur le plan complexe C, admettant le groupe de périodes G, peut être restreinte à un parallélogramme de périodes de sommets u, u + τ, u + τ′, u + τ + τ′, sur lequel elle prend toutes ses valeurs, ou bien considérée comme une fonction holomorphe ou méromorphe sur la variété compacte connexe C/G.

• RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 16 497 mots

  , τ2p d'une fonction méromorphe sur Cp doivent être liées précisément par les relations qui assurent la convergence des séries θ générales, et, d'autre part, que la fonction méromorphe est le quotient de deux fonctions θ relatives aux 2 p vecteurs τ1, ..., τ2p : aussi le premier résultat est-il appelé théorème de Riemann. Mais la démonstration complète de tout cela demanda les efforts de plusieurs mathématiciens parmi les plus grands : Weierstrass, Frobenius, Picard, Poincaré.

• ZÊTA FONCTION

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 16 214 mots

  Le résultat fondamental de Riemann est qu'il est possible de prolonger cette fonction en une fonction méromorphe dans tout le plan, vérifiant l'équation fonctionnelle :où l'on a posé : Une des démonstrations de Riemann lie la fonction zêta à une fonction thêta de Jacobi, grâce à l'expression de Γ(s) par l'intégrale eulérienne qui donne :où l'on a :pour Im x > 0.

• PICARD ÉMILE (1856-1941)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 10 304 mots

  ), datée du 19 mai 1879, sous sa forme primitive, et dans les Annales de l'École normale supérieure de 1880 sous la forme suivante : Si z0 est point singulier essentiel isolé de la fonction méromorphe f, celle-ci, dans un voisinage de z0, ne peut omettre que deux valeurs au plus. La beauté du résultat, le meilleur possible comme le montre l'exemple simple f (z) = th z, z0 = ∞, est encore rehaussée par une démonstration savante et merveilleusement habile, où le but est atteint alors qu'il semble lointain.

• FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Écrit par André MARTINEAU et Henri SKODA
  • 45 904 mots

  Étendons à plusieurs variables le problème de Mittag-Leffler qui consiste à déterminer dans le plan une fonction méromorphe admettant un système de développements polaires donnés. On peut le formuler ainsi : Soit un ouvert U réunion de polydisques ouverts Ui ; on se donne dans chaque Ui une fonction méromorphe fi/gi de telle sorte que fi/gi − fj/gj soit holomorphe dans Ui ∩ Uj quels que soient i et j ; alors il existe une « fonction » méromorphe admettant le système polaire donné, c'est-à-dire qu'il existe des fonctions f  ′ i , g ′ i holomorphes dans Ui telles que :soit holomorphe dans Ui et :dans Ui ∩ Uj.