Maximalité

"maximalité" dans l'encyclopédie

• NOETHER EMMY (1882-1935)

  • Écrit par Paul DUBREIL
  • 6 483 mots

  Dans Abstrakter Aufbau der Idealtheorie, l'introduction, à côté de la condition de chaîne ascendante, de la maximalité des idéaux premiers et de la clôture intégrale permet à Emmy Noether d'obtenir des théorèmes plus précis et, notamment, de définir axiomatiquement des anneaux dans lesquels les idéaux ont les propriétés que Dedekind avait obtenues dans la théorie des nombres algébriques.

• NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par Robert ROLLAND et Jean-Luc VERLEY
  • 32 152 mots

  Supposons E normé et soit H un hyperplan ; l'adhérence H̄ est un sous-espace vectoriel de E qui contient H, et par suite, d'après la maximalité de H, on a soit H = H̄, c'est-à-dire que l'hyperplan H est fermé, soit H̄ = E, c'est-à-dire que l'hyperplan est dense dans E. On montre facilement que, avec les notations données ci-dessus, l'hyperplan H est fermé si et seulement si la forme linéaire u est continue.

• MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 57 403 mots
  • 1 média

  De plus, de nombreux énoncés, d'aspect inoffensif et de fonction fondamentale (par exemple les énoncés de maximalité), devaient se montrer équivalents à l'axiome du choix. Cette situation est aujourd'hui dénouée. D'une part, en 1938, Kurt Gödel a démontré que, si la théorie des ensembles est cohérente sans l'axiome du choix ni l'hypothèse du continu, elle le demeure lorsqu'on adjoint ces deux énoncés au nombre de ses thèses initiales.

• RÉELS NOMBRES

  • Écrit par Jean DHOMBRES
  • 82 048 mots

  Qu'il faille préciser cet ensemble de référence par un principe de maximalité est une découverte de la fin du xixe siècle. Elle fit scandale, mais permit enfin de mettre l'analyse mathématique sur ses pieds par constitution d'une référence universelle, l'ensemble des nombres réels. Le continu, d'un coup, s'élargissait. La construction de cet ensemble continu à partir des seuls nombres entiers, l'arithmétisme, obligea à repenser l'existence des êtres mathématiques et rendit caducs les essais intérieurs, tel le géométrisme cartésien.