Nilpotent

"nilpotent" dans l'encyclopédie

• GROUPES (mathématiques) Groupes finis

  • Écrit par Everett DADE
  • 26 930 mots

  Voici le critère : un groupe fini G est p-nilpotent si le normalisateur NG(H) est p-nilpotent pour tout p-sous-groupe H ≠ {1} de G. Notons qu'en général ces normalisateurs NG(H) sont plus petits que G (par exemple, si G est simple et non cyclique). Certains travaux récents de Thompson ont montré qu'il n'est pas nécessaire de vérifier la p-nilpotence de NG(H) pour tout p-sous-groupe H de G.

• SPECTRALE THÉORIE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 25 733 mots

  De plus, l'endomorphisme de Fλ coïncidant avec u est nilpotent, tandis que l'endomorphisme de F′λ coïncidant avec u est un automorphisme de l'espace vectoriel localement convexe séparé F′λ. En outre, le spectre d'un endomorphisme compact u d'un espace vectoriel localement convexe séparé E est une partie compacte non vide de C, et tout point de sp(u) autre que 0 est isolé.

• ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 27 695 mots
  • 1 média

  Dans l'anneau Z/4Z, l'élément 2 est nilpotent car son carré est nul. L'anneau Z/3Z est un corps, car tout élément non nul a un inverse dans l'anneau. Montrons plus généralement que l'anneau Z/pZ est un corps si, et seulement si, p est un nombre premier. En effet, si p est un nombre entier positif non premier, p est le produit de deux nombres entiers q1 et q2 positifs et strictement inférieurs à p ; on a donc 0̇ = p = q1q2 et Z/pZ n'est pas un corps car il contient des diviseurs de zéro.

• GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 67 458 mots
  • 7 médias

  dans l'algèbre de séries formelles A [[T]], si cet inverse est un polynôme, f est nilpotent. Enfin, si f est supposé nilpotent, il en est de même de f (x) pour tout point x ; or f (x) ∈ k, et dans un corps tout élément nilpotent est nul. Autrement dit, l'ensemble n des éléments nilpotents de A est l'intersection des idéaux maximaux (c'est un idéal qu'on appelle le nilradical de A).

• GROUPES (mathématiques) Généralités

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 32 870 mots
  • 1 média

  Un groupe G est alors nilpotent si et seulement s'il existe un entier r tel que Cr+1(G) = {1}. Produits Soit n groupes G1, ..., Gn. L'ensemble produit :est un groupe, appelé groupe produit, pour la loi de composition :si H1, H2, ..., Hn sont des sous-groupes de G1, G2, ..., Gn respectivement, le groupe produit :est un sous-groupe de G, distingué si chacun des Hi l'est.