Noethérien

"noethérien" dans l'encyclopédie

• ANNEAUX COMMUTATIFS

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 34 196 mots
  • 1 média

  Une source importante d'exemples ne rentrant pas dans les précédents est la remarquable propriété de stabilité suivante, découverte par Hilbert : si A est un anneau noethérien, l'anneau A[X] des polynômes à coefficients dans A est lui aussi noethérien ; par récurrence, ce résultat s'étend à l'anneau A[X1, ..., Xn] des polynômes à n variables sur un anneau noethérien A.

• NOETHER EMMY (1882-1935)

  • Écrit par Paul DUBREIL
  • 6 483 mots

  Elle en déduit la représentation d'un idéal sous forme d'intersection d'idéaux irréductibles, puis, dans ce qui restera une des plus jolies démonstrations de l'algèbre, elle établit que tout idéal d'un anneau vérifiant la condition de chaîne ascendante (appelé maintenant anneau noethérien) est intersection finie d'idéaux primaires. Dégager cette notion d'idéal primaire (I est primaire si ab ∈ I avec a ∉ Q entraîne qu'une puissance de b appartient à I) était une des difficultés.

• MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  • 34 997 mots
  • 1 média

  Les divergences de définitions entre mathématiciens ne facilitent pas les choses : un anneau local au sens ci-dessus est appelé « anneau quasi-local » par certains auteurs, pour qui un anneau local est un « anneau quasi-local noethérien ». Une belle architecture abstraite Les notions mathématiques se développent les unes à partir des autres comme des constructions abstraites.

• GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 67 458 mots
  • 7 médias

  , Tn] → A dont le noyau a est engendré par un nombre fini de polynômes, car l'anneau des polynômes est noethérien (théorème de Hilbert, cf. anneaux commutatifs) ; ainsi A est isomorphe à l'algèbre associée à un ensemble algébrique affine contenue dans kn, et ϕ détermine une bijection de X sur cet ensemble. Un morphisme (X, A, ϕ ) → (Y, B, ψ) de variétés algébriques affines est un couple (u, v) d'une application u : X → Y et d'un homomorphisme v : B → A de k-algèbres, tel que ϕ(x) ∘ v = ψ(u(x)) pour tout point x de X ; en fait la connaissance de v détermine entièrement u (à l'aide de ϕ et ψ).

• LINÉAIRE ALGÈBRE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 71 258 mots

  L' algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du xixe siècle et au début du xxe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à p inconnues, équations différentielles et intégrales linéaires) et de la géométrie (calcul vectoriel dans les espaces affines, transformations des espaces projectifs, dualité pour les sous-variétés linéaires et les quadriques, structure même de la géométrie).