P-adique

"p-adique" dans l'encyclopédie

• NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 25 722 mots

  Chaque nombre p-adique peut s'écrire comme une fraction x/pn avec au numérateur un entier p-adique x et au dénominateur une puissance de p ; la valuation p-adique se prolonge à Qp en posant : On a encore :pour x, y ∈ Qp. On fait de Qp un corps topologique localement compact en le munissant de la topologie pour laquelle Zp est un sous-groupe additif ouvert (cf.

• MUMFORD DAVID BRYANT (1937- )

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 1 498 mots

  Par ailleurs, il a développé une théorie algébrique des fonctions thêta et contribué de façon remarquable aux progrès de l'uniformisation p-adique. Il a introduit des groupes de Schottky p-adiques et a montré qu'on pouvait obtenir certaines courbes p-adiques comme le quotient par ces groupes de la ligne projective diminuée d'un ensemble de Cantor. Sa théorie du plongement toroïdal réduit l'étude de certaines variétés à un problème combinatoire dans un espace d'exposants.

• DRINFELD VLADIMIR GERSHONOVITCH (1954- )

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 2 114 mots

  En étudiant leurs propriétés analytiques, il développa des idées originales sur l'uniformisation p-adique et découvrit le phénomène particulier reliant les « mauvaises fibres » d'une variété de Shimura en deux nombres premiers différents. Drinfeld a aussi établi de nombreux résultats liés à des problèmes de physique mathématique. Il a ainsi construit avec Yuri Manin les « instantons », solutions particulières des équations de Yang-Mills qui généralisent les équations de Maxwell et sont à la base de la compréhension moderne des interactions nucléaires.

• HENSEL KURT (1861-1941)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 2 097 mots

  Dans ce livre, un nombre p-adique est une expression formelle : c'est la somme, sur i des cipi, où les ci sont des nombres rationnels dont le dénominateur (sous la forme irréductible) n'est pas divisible par le nombre premier p. Hensel définit alors les opérations sur ces expressions et montre qu'il obtient ainsi un corps ; il définit les entiers p-adiques et d'autres notions analogues à celles des nombres rationnels usuels et il étudie les polynômes à coefficients p-adiques sur lesquels il obtient d'importants résultats.

• FONCTIONS ANALYTIQUES Vue d'ensemble

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 6 195 mots

  théorie des nombres – Nombres p-adiques) : il ne s'agit pas là d'une généralisation sans motivation, car ce qu'on appelle maintenant l'analyse p-adique a pris dans ces dernières années une importance de plus en plus grande dans toutes les questions touchant la théorie des nombres algébriques (cf. théorie des nombres – Nombres algébriques). Toutefois, une étude plus poussée révèle que la possibilité de donner une définition de la notion de « fonction analytique » sur un corps valué complet quelconque K masque en réalité de profondes différences de comportement pour ces fonctions, selon la nature du « corps de base » K considéré.