Quadratique

"quadratique" dans l'encyclopédie

• QUADRATIQUES FORMES

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 35 269 mots
  • 1 média

  Pour toute place v de K, le corps K se plonge canoniquement dans le corps local complété Kv, et on peut donc considérer une forme quadratique Q sur K comme une forme quadratique Qv sur Kv. La théorie est entièrement ramenée au cas des corps locaux par le principe de Hasse : pour qu'une forme quadratique Q′ soit transformée d'une forme Q, il faut et il suffit que Q′v soit transformée de Qv pour chaque place v (finie ou à l'infini).

• LEGENDRE ADRIEN MARIE (1752-1833)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 1 618 mots

  De toutes ses contributions aux mathématiques, il convient de citer : d'une part, les Exercices de calcul intégral (1811-1819) et le Traité des fonctions elliptiques (1825-1832), dans lesquels il introduisit de nouveaux outils d'analyse, qui portent toujours son nom, par exemple les « fonctions de Legendre », solutions des « équations différentielles de Legendre » (les solutions polynômiales pour les valeurs entières de n sont connues sous le nom de « polynômes de Legendre »)( — x2)y″ — 2xy′ + n(n + 1)y = 0 ; d'autre part, la Théorie des nombres (1798), ouvrage célèbre, car il contient la démonstration de la « loi de réciprocité quadratique », qui peut s'énoncer ainsi : soit p un nombre premier et n un nombre premier avec p, on appelle « symbole de Legendre » le nombre (n/p), égal à + 1 si n est résidu quadratique modulo p, et égal à — 1 dans le cas contraire ; on a alors pour tout couple (p, q) de nombres premiers impairs(p/q)(q/p) = (—1)((p—1)(q—1))/4, sauf si p et q sont tous deux congrus à 3 modulo 4.

• XÉNOTIME

  • Écrit par Guy TAMAIN
  • 3 331 mots

  ) (Si, P)O4, cristallisant comme la précédente dans le système quadratique, est le produit du mélange de la thorite et du xénotime, avec également une certaine teneur en lanthanides. L'ion [SO4] peut remplacer l'ion [PO4] jusqu'à 1 p. 100 ; [Si O4] peut aussi entrer, pour une très faible proportion, dans la composition des xénotimes. Le xénotime appartient au système quadratique.

• DIVISIBILITÉ

  • Écrit par Marcel DAVID
  • 20 053 mots

  Résidus quadratiques Résidus et non-résidus Un nombre a premier à m est dit résidu quadratique de m, si x2 ≡ a (mod m) a des solutions entières en x ; sinon a est dit non-résidu quadratique (avec toujours la condition a premier à m). Dans le cas où m = p premier, il est facile de voir qu'il existe, modulo p, (p − 1)/2 résidus quadratiques et (p − 1)/2 non-résidus ; en effet, 12, 22, .

• HERMITE CHARLES (1822-1901)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 6 426 mots

  , An par des nombres rationnels en considérant la forme quadratique à n + 1 variables : La théorie des formes quadratiques non dégénérées de signe variable (« formes indéfinies » de la terminologie classique) est ramenée par Hermite à celle des formes positives : il associe à une forme quadratique quelconque F(x1, ..., xn) ses « majorantes d'Hermite », c'est-à-dire les formes quadratiques positives G (x1, .