Résolubilité

"résolubilité" dans l'encyclopédie

• GROUPES DE GALOIS

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 977 mots

  L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant universellement reconnue. Galois montrait l'intérêt d'associer à chaque équation d'un certain type un groupe de substitutions portant sur l'ensemble des racines de cette équation.

• POST EMIL LEON (1897-1954)

  • Écrit par Bernard JAULIN
  • 3 419 mots

  Ce résultat de Post est équivalent à la non-résolubilité du problème des mots, que l'on peut formuler de la façon suivante : soient L(X) et L(Y) deux monoïdes libres ayant un nombre fini de générateurs. Dès que [X] ≥ 3, il n'existe pas d'algorithme permettant de décider si deux morphismes (f, g) de L(X) vers (Y) ont une solution commune (un z ∈ L(X) tel que f(z) = g(z) ; f et g sont donnés par leurs valeurs sur X).

• LAFFORGUE LAURENT (1966- )

  • Écrit par Antoine CHAMBERT-LOIR
  • 4 583 mots

  Suggérée en 1967 dans une lettre du mathématicien canadien Robert Langlands, cette correspondance postule l'existence d'une bijection entre deux types d'objets de natures très différentes : – les représentations galoisiennes (ou plus généralement les « motifs »), qui appartiennent à l'arithmétique, et qui mesurent si l'on veut la résolubilité des équations polynomiales ; – les représentations automorphes (ou des avatars plus élémentaires comme les formes modulaires), qui relèvent de l'analyse sur les groupes de Lie.

• ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 7 169 mots

  À ce propos, il donne des critères de résolubilité par radicaux et étudie de nouveaux types d'équations, appelées de nos jours équations abéliennes, possédant cette propriété. Avec le mémoire intitulé Recherches sur les fonctions elliptiques (1827), Abel crée, à peu près simultanément avec Jacobi, mais indépendamment de lui, une branche nouvelle de l'analyse mathématique, la théorie des fonctions elliptiques, et introduit des notions qui se révéleront d'une grande fécondité dans les mathématiques contemporaines.

• CORPS, mathématiques

  • Écrit par Robert GERGONDEY et Encyclopædia Universalis
  • 34 049 mots

  En traduisant cette définition au moyen du dictionnaire que fournit la correspondance de Galois, on obtient assez facilement le critère : la résolubilité par radicaux de l'équation P(X) = 0 équivaut à la résolubilité du groupe de l'équation G = G(Kp/K). Rappelons qu'un groupe G est un groupe résoluble s'il possède une suite de composition :telle que les quotients Gi/Gi-1 soient des groupes commutatifs.