Résolvante

"résolvante" dans l'encyclopédie

• ORTHOGONAUX POLYNÔMES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT
  • 12 400 mots

  De plus :est une résolvante de U. Le système (Pn) de polynômes orthogonaux associé au poids r est une base hilbertienne de E constituée de fonctions propres de U ; plus précisément : Les polynômes Pn s'appellent polynômes de Jacobi. Dans le cas où μ = ν = 1, on trouve les polynômes de Legendre ; dans le cas où μ = ν = 1/2, on trouve les polynômes de Tchebichev, ainsi que dans le cas où μ = ν = 3/2.

• SPECTRALE THÉORIE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 25 733 mots

  Considérons alors la résolvante R de u, c'est-à-dire l'application : Cette résolvante est holomorphe sur reg (u), et chaque valeur singulière λ de u est un pôle d'ordre égal à la multiplicité m(λ) de la valeur propre 1/λ. Plus précisément, soit pλ et qλ les projecteurs sur Fν et F′ν, où ν = 1/λ. Alors u se décompose de la manière suivante :où rλ = qλu et sλ = pλu.

• DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

  • Écrit par Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU et Encyclopædia Universalis
  • 64 000 mots

  L'équation linéaire non homogène L'équation linéaire non homogène est l'équation :Toute solution de (8) où A(t ) et w(t ) sont respectivement une matrice n × n et un vecteur fonction continue donnée de t ∈ [0, t0] et c un vecteur constant peut être recherchée sous la forme : x = X(t ) y, où X(t ) est la matrice résolvante de (7). Il est aisé de voir que (8) conduit à :système qui a la solution unique :d'où, pour (8), la solution unique : Le cas des systèmes à coefficients constants Si A est une matrice à éléments indépendants de t, la matrice résolvante X(t ) peut être représentée par la série convergente : On pourra introduire sur l'espace vectoriel des matrices carrées n × n la norme définie par :avec la topologie correspondante, on peut s'assurer que la série (9) converge uniformément par rapport à t sur tout intervalle fini, et satisfait (7).

• ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

  • Écrit par Jean ITARD
  • 31 196 mots

  Appliqué à la résolution algébrique des équations, ce théorème montrait que, si l'on cherche à faire dépendre la résolution de l'équation générale du cinquième degré de celle d'une résolvante de ce même degré, on revient à la transformation de Tschirnhaus. Ruffini énonça en 1813 l'impossibilité de la résolution algébrique de cette équation générale du cinquième degré.

• GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par Pierre COSTABEL et Jean DIEUDONNÉ
  • 26 870 mots

  Ayant démontré que, pour n premier, l'équation de degré n − 1 :donnant les racines n-ièmes de l'unité ≠ 1, est irréductible, il utilise l'isomorphie du groupe additif des entiers modulo n − 1 et du groupe multiplicatif des classes modulo n pour écrire les racines de l'unité ≠ 1 sous la forme :(0 ≤ k ≤ n − 2 ), où g est une «   racine primitive » de la congruence :à toute décomposition de n − 1 en produit ef de deux facteurs, il fait alors correspondre les e « périodes » :(0 ≤ γ ≤ e − 1), dont il prouve, à l'aide d'une « résolvante de Lagrange », qu'elles appartiennent au corps engendré, sur le corps des racines e-ièmes de l'unité, par une racine d'une équation binôme :où b est dans le corps des racines e-ièmes de l'unité.