Riemannien

"riemannien" dans l'encyclopédie

• DISSERTATIONS (B. Riemann)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 1 180 mots
  • 1 média

  Dans sa thèse de 1854, Sur les hypothèses qui fondent la géométrie, Riemann énumère les conditions pour qu'une fonction admette une intégrale et il définit ce qu'on appelle aujourd'hui un espace riemannien de dimension quelconque.

• GROMOV MIKHAËL (1943- )

  • Écrit par Antoine CHAMBERT-LOIR
  • 5 410 mots

  Par exemple la forme de l'Univers à partir de sa courbure ! Gromov a ainsi démontré que si la courbure d'un espace riemannien compact est, disons, partout positive, ses nombres de Betti sont majorés par une expression qui ne dépend que de la dimension de cet espace. Cela contraint très fortement sa géométrie. Gromov a par ailleurs développé, à partir de 1985, une théorie de courbes dites pseudo-holomorphes dans les variétés symplectiques, ce qui l'a amené à définir les « invariants de Gromov-Witten », des nombres rationnels liés aux propriétés topologiques de ces variétés.

• ESPACE, mathématique

  • Écrit par Jean-Marc SCHLENKER
  • 9 186 mots

  Le paradigme riemannien Un autre point de vue sur la géométrie apparaît au milieu du xviie siècle, lorsque René Descartes remarque que la position des points de l'espace euclidien peut être décrite par la donnée de trois nombres, ses coordonnées cartésiennes, qui indiquent la position de ses projections sur trois droites orthogonales. Ainsi, des objets géométriques – droites ou ellipses, mais aussi courbes plus générales – sont décrits comme ensembles de solutions d'équations algébriques portant sur leurs coordonnées.

• GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 56 624 mots
  • 2 médias

  L'espace P est isomorphe à un Rn ; G0 y agit transitivement par (x, p) ↦ xpt(x-1), et, pour cette action, P0 est isomorphe à l'espace riemannien symétrique G0/K0. On a encore la décomposition de Cartan G0 = K0A0K0 (A0 sous-groupe commutatif connexe maximal de P0), et, en analysant de plus près la représentation adjointe de A dans g0, on obtient la décomposition d'Iwasawa G0 = K0A0N décrite dans le chapitre 2.

• MÉCANIQUE CÉLESTE

  • Écrit par Bruno MORANDO
  • 33 250 mots
  • 4 médias

  La théorie de la relativité générale donne de la gravitation une interprétation géométrique : l'espace-temps est courbé par la présence de matière, et d'euclidien devient riemannien. Les trajectoires des corps célestes, associées à la loi du temps sur ces trajectoires, sont alors interprétées comme étant des géodésiques de l'espace-temps. S'il résulte de cette conception une modification profonde des équations de la mécanique céleste, il n'en reste pas moins que les méthodes classiques de la mécanique newtonienne, plus simples à utiliser, donnent très souvent une approximation suffisante pour les besoins des astronomes, dans la mesure où ces derniers considèrent des champs faibles et des vitesses petites par rapport à celle de la lumière.