Scalaire

"scalaire" dans l'encyclopédie

• PROJECTIVES APPLICATIONS

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 1 987 mots

  Notons que f et λf, où λ est un scalaire non nul, donnent la même application déduite. Réciproquement, si l'on se donne une variété linéaire projective P(N) et une application projective g de P(E)—P(N) dans P(F), toutes les applications linéaires dont g est déduite s'obtiennent à partir de l'une d'entre elles par multiplication par un scalaire non nul.

• GRASSMANN HERMANN GÜNTHER (1809-1877)

  • Écrit par Jean MEYER
  • 1 892 mots

  Grâce à l'introduction et à l'utilisation de produits (scalaire, vectoriel, extérieur), il peut résoudre des questions d'algèbre linéaire et de géométrie euclidienne. Avec Hamilton, qui introduit à la même époque, mais indépendamment de lui, les quaternions, Grassmann apparaît comme l'un des pionniers de l'algèbre moderne.

• GROUPES (mathématiques) Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 45 474 mots
  • 3 médias

  On a les relations : L'exemple classique de produit scalaire dans Rn est :inversement, pour tout produit scalaire (x|y) sur E, il existe une base dite orthonormale (ej) de E telle que : Un espace vectoriel E muni d'un produit scalaire est ce qu'on appelle un espace euclidien ; sur un même espace vectoriel E, il y a une infinité de produits scalaires non proportionnels, donnant une infinité de structures d'espace euclidien pour lesquelles les notions d'orthogonalité sont distinctes ; toutefois tous ces espaces sont isomorphes, en vertu de l'existence des bases orthonormales.

• VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par Claude MORLET
  • 53 934 mots
  • 7 médias

  Donc, sur une variété riemannienne, si t et t′ sont deux vecteurs tangents au même point m, on peut parler de leur produit scalaire, de leurs longueurs et de leur angle. Bien entendu, pour qu'une telle donnée soit utilisable, il faut que, pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs de classe C∞, la fonction qui à tout point m associe le produit scalaire de X(m) et de Y(m) soit de classe C∞.

• POINCARÉ CONJECTURE DE

  • Écrit par Gérard BESSON
  • 3 384 mots
  • 1 média

  En un point d'une variété, on nomme « espace tangent » l'ensemble des vecteurs vitesse des courbes passant par ce point et on appelle « forme d'une variété » la donnée en chaque point d'un produit scalaire permettant de mesurer les longueurs et les angles de ces vecteurs (c'est une métrique riemannienne). Le défaut à ce que l'espace ainsi obtenu soit euclidien est mesuré par les différentes notions de courbure, la sphère ronde telle que nous la connaissons ayant une courbure constante.