Sommable

"sommable" dans l'encyclopédie

• SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL
  • 16 803 mots

  Le critère de Cauchy devient : Pour qu'une famille (ui), i ∈ I, d'éléments de E soit sommable, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 0, il existe une partie finie J0 de I telle que, pour toute partie finie K de I ne rencontrant pas J0, on ait : La notion de famille sommable est commutative. De manière précise, pour toute famille sommable (ui), i ∈ I, d'éléments de G et pour toute permutation σ de I, la famille (uσ(i), i ∈ I, est sommable, et : Examinons le cas où I = N.

• LEBESGUE HENRI (1875-1941)

  • Écrit par Lucienne FÉLIX
  • 12 264 mots

  Si les sommes introduites sont celles (3) de l'intégrale de Lebesgue, la fonction est dite sommable. En langage moderne, elles sont caractérisées par la condition : l'image réciproque par f de tout intervalle est un ensemble mesurable. Lebesgue montra immédiatement la fécondité de ses conceptions par les théorèmes fondamentaux de passage à la limite : Toute suite convergente de fonctions sommables inférieures à une fonction sommable a une limite sommable et est intégrable terme à terme.

• HILBERT ESPACE DE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 17 770 mots

   La famille (ξi), i ∈ I, est de carré sommable, et :(inégalité de Bessel). 2. Pour que x appartienne à F, il faut et il suffit que :(égalité de Parseval). Dans ces conditions, la famille (ξiei), i ∈ I, est sommable, et : 3. Pour tout couple (x, y) d'éléments de F de composantes respectives (ξi) et (ηi), i ∈ I, la famille (ξiηi−), i ∈ I, est sommable, et : Ce théorème est une conséquence immédiate du théorème 4, puisque, pour toute partie finie J de I, la projection orthogonale de x sur le sous-espace vectoriel FJ engendré par la famille (ei), i ∈ J, est égale à : Lorsque (ei), i ∈ I, est une base hilbertienne de E, les assertions 2 et 3 s'appliquent à tous les éléments de E.

• RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

  • Écrit par Béla SZŐKEFALVI-NAGY
  • 8 199 mots

  ) de carré sommable, muni de la norme :et de la distance :est un espace vectoriel métrique complet (c'est-à-dire vérifiant la condition de Cauchy pour la convergence). Frédéric Riesz et Ernst Fischer ont démontré, en 1907, indépendamment l'un de l'autre, que l'espace L2([a, b]) des classes de fonctions x mesurables et de carré sommable au sens de Lebesgue sur [a, b] jouit de propriétés analogues si l'on y définit la norme de x par :en ne distinguant pas deux fonctions qui coïncident presque partout ; de plus, chaque système orthonormal complet {ϕk} dans L2 engendre une isomorphie isométrique x ↦ c = (ck) entre L2 et l2, où :ce théorème est d'une importance capitale dans diverses branches des mathématiques et de la physique mathématique.

• LITTLEWOOD JOHN EDENSOR (1885-1977)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 3 111 mots

  Ils démontreront ensuite d'importants théorèmes sur les propriétés analytiques des séries de Dirichet (1923), sur l'équivalence de certaines moyennes intégrales (1924), sur le caractère sommable des séries de Fourier, sur les formes bilinéaires bornées (1934), sur les séries de Lambert (1936), sur les valeurs moyennes des fonctions analytiques ou harmoniques (1941).