Sommatoire

"sommatoire" dans l'encyclopédie

• BERNOULLI LES

  • Écrit par Encyclopædia Universalis
  • 6 809 mots
  • 1 média

  C'est également lui qui introduit vers 1690 l'expression « calcul intégral » (alors que Lebniz disait « calcul sommatoire ») pour exprimer que dans ce calcul on cherche à exprimer le tout à partir de la partie. Jacques Bernoulli a étudié en détail la chaînette et a découvert de nombreuses propriétés de la spirale logarithmique ; à ce propos, il introduit pour la première fois les coordonnées polaires en géométrie analytique et étudie très en détail la fonction exponentielle et ses rapports avec le logarithme.

• CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 7 704 mots
  • 1 média

  Il partage d'ailleurs avec Poisson la découverte de la formule sommatoire qu'on attribue d'ordinaire à ce dernier seul ; et, comme Poisson, il en avait déduit la formule de réciprocité de la fonction thêta (que Gauss avait lui aussi découverte quinze ans auparavant, mais non publiée). En géométrie, il inaugure la « géométrie intégrale », avec la formule donnant la longueur d'une courbe plane convexe comme moyenne de ses projections orthogonales sur toutes les droites du plan.

• ASYMPTOTIQUES CALCULS

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 34 380 mots
  • 1 média

  Une valeur approchée à 20 décimales est : Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin Si l'on désire un développement asymptotique à une précision plus grande, on fait appel à une technique beaucoup plus élaborée, la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin. On suppose ici que f  est suffisamment dérivable et que, pour tout entier k, la dérivée k-ième f (k) est négligeable devant f (k-1).

• EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par Christian HOUZEL et Jean ITARD
  • 15 171 mots
  • 1 média

  Les nombres de Bernoulli apparaissent aussi dans la formule sommatoire découverte par Euler en 1732-1735 et, indépendamment, par Maclaurin, qui donne un développement asymptotique des sommes partielles d'une série ; pour la série harmonique :qui est divergente et correspond à ζ(1), Euler trouve que :est égal à lgn + γ + εn, où εn tend vers 0 pour n infini et γ = 0,577 215 664 9.

• NUMÉRIQUE CALCUL

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT
  • 30 623 mots

  De même, en appliquant la formule sommatoire à la série de terme général log n, on obtient la formule de Stirling : Euler obtient plus généralement un développement asymptotique de log Γ(x). La notion de développement asymptotique n'a pas été clarifiée avant la fin du xixe siècle. Une confusion a eu lieu entre développements asymptotiques et développements en série.