Valuation

"valuation" dans l'encyclopédie

• NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 25 722 mots

  Inversement, la donnée d'une valuation discrète v : K* → Z détermine un sous-anneau :où l'on a posé v(0) = + ∞, qui est un anneau de valuation discrète et dont l'idéal maximal est l'ensemble des éléments de valuation > 0. La valuation définit une valeur absolue ultramétrique :où a est un nombre réel fixé appartenant à l'intervalle ]0, 1] ; on a :et |x| ne s'annule que pour x = 0.

• HENSEL KURT (1861-1941)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 2 097 mots

  Les idées de Hensel sont à l'origine de nombreuses notions d'algèbre qui sont devenues essentielles en théorie des nombres et en géométrie algébrique, comme les notions de valuation, d'anneau de valuation, d'anneau local et de complétion d'un tel anneau. En 1913, il a publié un ouvrage sur la théorie des nombres (Zahlentheorie) et rédigé l'article « Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen » de l'Encyclopédie des sciences mathématiques (Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaft, vol.

• ZARISKI OSCAR (1899-1986)

  • Écrit par Jean-Jacques SANSUC
  • 2 150 mots

  Il y réussit (1937-1947) grâce à l'introduction en géométrie de concepts algébriques nouveaux (normalisation, valuation) et à l'usage systématique de méthodes purement algébriques. Il prouve l'efficacité de sa démarche en obtenant dans ce cadre, outre des résultats classiques comme les théorèmes de Bertini, des résultats nouveaux comme son fameux « théorème principal » et la résolution des singularités en dimension 3.

• ALGÈBRE

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 39 281 mots

  En liaison avec la notion de valuation dont une des applications a déjà été signalée ci-dessus, un autre exemple important d'anneau local est constitué par les anneaux de valuation : un sous-anneau A d'un corps K, qui est distinct de K, est appelé un anneau de valuation de K si, pour tout x ≠ 0 qui n'appartient pas à A, son inverse x appartient à A ; ces anneaux correspondent à l'ensemble des éléments de K où une valuation de K prend des valeurs supérieures à 1.

• NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 71 482 mots

  , ue-1) d'entiers rationnels ; on définit une valuation v sur l'anneau des entiers cyclotomiques en posant :(cf. topologie-Topologie algébrique). Lorsque le facteur de q associé à (u0, u1, ..., ue-1) est un vrai nombre premier cyclotomique h(α), les nombres de valuation n sont ceux qui sont divisibles par h(α)n mais pas par h(α)n+1. La théorie de Kummer consiste en définitive à remplacer les nombres premiers cyclotomiques, qui n'existent pas toujours, par des valuations ; au moyen de ces valuations, on peut énoncer un critère de divisibilité pour les entiers cyclotomiques, qui joue le rôle de la décomposition en facteurs premiers lorsque celle-ci est possible.