Variété

"variété" dans l'encyclopédie

• VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par Claude MORLET
  • 53 934 mots
  • 7 médias

  Si maintenant V est une sous-variété de En, l'espace tangent à V en m est un sous-espace vectoriel de l'espace tangent à En en m et il en résulte qu'il est muni d'une structure euclidienne induite ; donc toute sous-variété de En est munie naturellement d'une structure riemannienne. Puisque toute variété qui est réunion dénombrable de compacts est difféomorphe à une sous-variété d'un espace En, elle possède au moins une structure riemannienne.

• GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 67 439 mots
  • 7 médias

  Soit X une variété algébrique affine intègre, d'algèbre A. On démontre que la clôture intégrale A∼ de A (ensemble des éléments du corps K(X) qui sont entiers sur A ; cf. anneaux commutatifs) est finie sur A ; il lui correspond une variété algébrique affine X∼ dont tous les points sont normaux, munie d'un morphisme fini X∼ → X. On généralise ce résultat en associant à toute variété réduite X une variété normale X∼ et un morphisme π : X∼ → X fini et surjectif qui induit un is

• PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 4 019 mots

  L'espace projectif réel ou complexe Pn(R) ou Pn(C) est une variété compacte non orientable. L'espace affine réel ou complexe de dimension n se plonge de manière naturelle dans cet espace projectif ; ce plongement correspond géométriquement à l'adjonction de « points à l'infini », réels ou imaginaires, à cet espace affine. Variété linéaire projective.

• AFFINES ESPACE & REPÈRE

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 3 406 mots

  Variété linéaire affine. Un sous-ensemble A′ ⊂ A est appelé variété linéaire affine (ou variété linéaire) de l'espace affine A si, pour toute famille finie de points de A′, tout barycentre de ces points appartient à A′. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une partie non vide A′ de A soit une variété linéaire affine est que, en prenant un point O quelconque dans A′, l'ensemble des vecteurs OM, où M ∈ A′, soit un sous-espace vectoriel E′ de l'espace vectoriel E auquel est attaché A.

• SMALE STEPHEN (1930- )

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 1 766 mots

  Le premier grand résultat de Smale fut, en 1956, son théorème du relèvement des homotopies des immersions d'une variété modulo une sous-variété. Il put ainsi établir que le plongement de la 2-sphère dans l'espace R3 est déformable (par des immersions) en un plongement antipodique. Son travail ouvrit la voie à l'étude et à la classification des immersions et plongements d'une variété différentiable dans une autre.