Zêta

"zêta" dans l'encyclopédie

• ZÊTA FONCTION

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 16 225 mots

  Fonction zêta et fonctions L d'un corps de nombres algébriques R.  Dedekind généralisa la définition des fonctions zêta et L à un corps de nombres algébriques k, en prenant :où a parcourt l'ensemble des idéaux entiers de k, où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers, où Na est la norme de l'idéal a, c'est-à-dire le nombre d'éléments de o/a (où o est l'anneau des entiers de k) et où χ est un caractère du groupe des idéaux ≠ 0 (pour χ = 1, on a la fonction zêta).

• BOHR HARALD (1887-1951)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 709 mots

  Landau, il étudie la fonction zêta dans sa partie critique et ses applications en théorie analytique des nombres ; ensemble, ils énoncent, en 1914, un théorème (appelé le théorème de Bohr-Landau) sur la distribution des zéros de la fonction zêta. L'étude des approximations diophantiennes et de l'équidistribution de familles de nombres le conduit à la création de la théorie des fonctions presque périodiques, sa plus notable contribution aux mathématiques.

• ARTIN EMIL (1898-1962)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 7 251 mots

  Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui généralise la fonction zêta de Riemann (obtenue lorsque K est le corps des nombres rationnels). Généralisant un résultat de Takagi, Artin a montré, en 1923, que, si K est une extension normale d'un corps k, alors la fonction ζk(s) divise la fonction ζk(s) en ce sens que le quotient est une fonction holomorphe dans tout le plan : ce quotient s'exprime au moyen de nouvelles fonctions L(s, χ), introduites par Artin, associées aux caractères χ du groupe de Galois de l'extension K/k.

• INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM (L. Euler)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 1 064 mots
  • 1 média

  Cette « introduction » contient un exposé des fonctions transcendantes élémentaires et de nombreux résultats sur la fonction zêta dont Riemann et beaucoup de mathématiciens des xixe et xxe siècles feront l'outil le plus puissant d'étude des propriétés des nombres premiers.

• NOMBRES (THÉORIE DES) Vue d'ensemble

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 17 464 mots

  infra), et on peut aussi définir les « fonctions L » et la fonction zêta de la même manière pour ces deux types de corps (cf. fonction zêta). Le résultat fondamental obtenu par Weil est que, pour ces dernières « fonctions zêta » (qui sont ici rationnelles en p-s), l'« hypothèse de Riemann » est vraie ; cela entraîne des majorations pour les sommes d'exponentielles qui jouent un grand rôle en théorie analytique des nombres (cf.