HURWITZ ADOLF (1859-1919)

Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s'éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non seulement suivant le sujet traité, mais même suivant la façon d'aborder une matière. On a pu comparer les mémoires de Hurwitz à des aphorismes. C'est en pleine connaissance des disciplines considérées qu'il choisit ici et là un important problème, contribuant largement à sa résolution dans une étude complète et profonde.

Né à Hildesheim, Hurwitz y fut introduit dans les mathématiques par son professeur de gymnase, H. Schubert, avec qui il publia, encore élève au gymnase, son premier travail sur le théorème de Chasles. Il commença ses études universitaires à l'école polytechnique de Munich, où enseignait alors Klein, puis il assimila, à Berlin, à la fois les méthodes rigoureuses de Weierstrass en théorie des fonctions et la façon arithmétique de penser de Kronecker. En 1880, il suivit Klein à Leipzig, où il se rapprocha des idées riemanniennes. Il y obtint son doctorat. Par la suite, il enseigna à l'université de Göttingen (1882-1884) et à l'université de Königsberg (1884-1892). Puis il accepta une chaire à l'école polytechnique fédérale de Zurich, où il résida jusqu'à la fin de ses jours.

L'influence de Klein sur Hurwitz était prépondérante. Hurwitz exploita le point de vue de Klein sur les fonctions modulaires, unifiant des aspects géométriques à des outils de la théorie des groupes et de la topologie. Dans sa thèse, il développa les idées de Klein pour construire une théorie des fonctions modulaires indépendamment de la théorie des fonctions elliptiques. En particulier, il établit le lien entre les fonctions doublement périodiques et les séries d'Eisenstein. Il appliqua, à la suite d'Hermite et de Kronecker, les fonctions modulaires à la théorie des nombres.

Vers les années 1870, un grand intérêt pour la théorie des fonctions au sens de Riemann commença à se manifester. Cette théorie se développa, dans les mains de Klein surtout, par l'étude des fonctions modulaires et des fonctions automorphes. Les recherches de Hurwitz sur les correspondances les plus générales sur les surfaces de Riemann et sur les produits de fonctions elliptiques S et leur comportement lors d'une transformation des périodes furent le produit de la collaboration avec Klein. Hurwitz montra que les groupes automorphes des surfaces algébriques de Riemann ayant un genre supérieur à 1 sont finis. Il se pencha également sur les fonctions automorphes à plusieurs variables.

En théorie générale des fonctions d'une ou de plusieurs variables complexes, Hurwitz étudia les propriétés arithmétiques des transcendantes généralisant la fonction exponentielle, les racines des fonctions de Bessel et autres transcendantes. Il publia plusieurs mémoires sur les séries de Fourier.

Hurwitz donna une démonstration élégante, basée sur la propriété du continu de ne pas être dénombrable, du théorème de Weierstrass affirmant qu'une fonction à un nombre quelconque de variables partout localement rationnelle doit l'être globalement. Il consacra également plusieurs mémoires aux fractions continues.

En théorie des nombres algébriques, Hurwitz indiqua entre autres de nouvelles démonstrations pour le théorème fondamental de la théorie des idéaux affirmant que chaque idéal peut être factorisé d'une manière unique en idéaux premiers.

En théorie des invariants, il découvrit surtout un nouveau principe générateur d'invariants algébriques en appliquant aux invariants orthogonaux le procédé par lequel Hilbert avait démontré qu'un système d'invariants est fini.

Le nom de Hurwitz reste surtout attaché au théorème sur la décomposition des[...]