CONNES ALAIN (1947- )

Alain Connes, mathématicien français, a obtenu la médaille Fields en 1982 avec W. P. Thurston (États-Unis) et S. T. Yau (originaire de Chine, vivant aux États-Unis).

Alain Connes est né le 1^er avril 1947 à Draguignan. Ancien élève à l'École normale supérieure, il a reçu, en 1980, le prix Ampère, l'un des plus importants décernés par l'Académie des sciences. Il a été élu membre de cette académie, dont il a été le benjamin, en 1981. Il a reçu le prix Clay en 2000, le prix Crafoord en 2001, la médaille d’or du C.N.R.S. en 2004. Alain Connes est professeur à l’Institut des hautes études scientifiques (I.H.E.S.), chaire Léon Motchane, depuis 1979 ; professeur au Collège de France, chaire d’analyse et géométrie, depuis 1984 ; et professeur à l’université de Vanderbit (États-Unis) ; depuis 2003.

Les premiers travaux d'Alain Connes s'inscrivent directement dans la tradition de John von Neumann et de ses continuateurs immédiats. Le développement de la mécanique quantique vers les années 1920 avait mis à l'ordre du jour l'étude d'espaces non plus à trois dimensions, comme celui où nous croyons vivre, ni à quatre, comme en relativité einsteinienne, mais à une infinité de dimensions (les espaces de Hilbert). L'un des outils essentiels de la mécanique quantique est la notion d'opérateur dans un tel espace, notion généralisant celle de rotation d'un espace euclidien. La théorie des algèbres d'opérateurs a débuté vers 1930 par les travaux de von Neumann, qui a montré l'importance d'un certain type d'algèbres d'opérateurs, appelées aujourd'hui algèbres de von Neumann, et qui a établi pour ces algèbres un théorème de «  décomposition en facteurs premiers » — on dit simplement « facteurs » — assez analogue au théorème de décomposition bien connu pour les nombres entiers usuels. Dès l'origine, les facteurs avaient été classés en trois types : facteurs de type I, II, III. On a eu assez tôt une bonne compréhension des facteurs de type I et pas mal d'informations sur ceux de type II, mais les facteurs de type III sont restés pendant longtemps beaucoup plus mystérieux : même les exemples étaient rares et von Neumann disait, à propos de ce cas : « C'est le plus réfractaire de tous, et les outils pour l'étudier nous font défaut, au moins pour l'instant. » La première réussite de Connes, qui lui a d'emblée valu la renommée internationale, a été une percée spectaculaire vers l'élucidation de la structure des facteurs de type III ; on peut dire qu'il est le premier à avoir acquis une connaissance « concrète » de ces objets, jusque-là assez énigmatiques, pris dans leur ensemble. Très grosso modo, les résultats de Connes ramènent l'étude des facteurs de type III à celle des facteurs de type II et de leurs automorphismes.

Une seconde étape des travaux de Connes a consisté en l'interprétation géométrique des C*-algèbres à l'aide des feuilletages. Une C*-algèbre (ou, dans la terminologie de Bourbaki, une algèbre stellaire) est une algèbre (sur C) dotée d'une involution * telle que la fonction : ||u²||= rayon spectral de u*u = sup {λ|u*u—λ n'est pas inversible} soit une norme d'espace de Banach. Formellement, les algèbres de von Neumann, considérées abstraitement (indépendamment de leur représentation comme algèbres d'opérateurs), sont des cas particuliers de C*-algèbres, mais cette façon de les considérer donne une idée fausse du rapport réel entre les deux notions, car les C*-algèbres qu'on obtient ainsi sont, du point de vue de la théorie des C*-algèbres, des objets assez pathologiques. La description heuristique suivante est plus vague, mais plus adéquate : on peut dire que les C*-algèbres sont à la topologie ce que les algèbres de von Neumann sont à la théorie de[...]