GROTHENDIECK ALEXANDRE (1928-2014)

Des travaux influents

Les idées nouvelles introduites par Grothendieck et les résultats qu'il en a déduits comptent parmi les plus importants des mathématiques contemporaines. De 1952 à 1955, ses travaux ont permis des progrès décisifs (les plus remarquables depuis Stefan Banach) à la théorie des espaces vectoriels topologiques, notamment par l'étude générale des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires, qui jouent un rôle fondamental dans les applications de la théorie des distributions. En 1955-1957, Grothendieck a considérablement élargi l'algèbre homologique en la développant dans le cadre des catégories abéliennes, ce qui lui a permis entre autres d'obtenir une notion générale et souple de cohomologie des faisceaux. À partir de 1957, ses travaux ont été centrés sur la géométrie algébrique et sur les applications de celle-ci à la théorie des nombres.

En premier lieu, il a obtenu l'extension (sous une forme plus générale) du théorème de Riemann-Roch pour les variétés algébriques complexes (démontré en 1953 par Hirzebruch) aux variétés algébriques sur un corps quelconque, à l'aide d'une notion nouvelle très originale que l'on appelle désormais « groupe de Grothendieck » et qui, sous le nom de K-théorie, a rapidement envahi des parties des mathématiques aussi diverses que la théorie des équations aux dérivées partielles, la topologie différentielle, l'algèbre et la théorie des nombres.

À partir de 1958, Grothendieck s'est consacré à une tâche gigantesque, une formulation extrêmement générale des notions de base de la géométrie algébrique, la théorie des schémas englobant, entre autres, toute l'algèbre commutative et permettant d'éliminer toute une série d'hypothèses parasites qui encombraient la théorie classique et formaient obstacle à son développement dans toutes les directions. Les ouvrages et séminaires qu'il a publiés sur ce sujet couvrent plusieurs milliers de pages et sont remplis d'idées nouvelles et fécondes : changement de base général, théorie de la « descente », schémas formels, foncteurs représentables, etc. La plus remarquable est sans doute celle des « topologies de Grothendieck », où les ouverts sont remplacés par des morphismes, mais qui permet de définir de nouveaux espaces de cohomologie pour les variétés algébriques ; ce sont les propriétés de cette cohomologie qui ont permis de prouver les conjectures de Weil.

Grothendieck a reçu une médaille Fields en 1966 ainsi que le prix Crafoord en 1988, qu’il a tous deux refusés pour des raisons politiques.

L’avenir d’une partie des archives laissées par Grothendieck reste incertain, et cela en dépit de l’importance de cet auteur. Vingt-huit mille pages sont conservées et rendues publiques par le département de mathématiques de l’université de Montpellier – où est basée la fondation Grothendieck – dont une partie (18 000 pages) a été numérisée et est disponible en ligne. Le reste des archives (quelque 70 000 pages manuscrites, scientifiques et personnelles qu’il conservait à Lasserre) aurait dû être remis à la Bibliothèque nationale, ce qui aurait levé l’interdiction de les publier, selon les volontés testamentaires du mathématicien.

De son vivant, Alexandre Grothendieck a publié plusieurs ouvrages non mathématiques. La Clef des songes ou Dialogue avec le bon Dieu, rédigé en 1986, atteste de son évolution spirituelle. En 2022, la publication de Récoltes et semailles I, II.Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien marque une autre étape dans la compréhension de ce génie mathématique.