ALGÈBRE
Les origines de l'algèbre commutative
Corps et anneaux
L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans les travaux de l'école allemande du xixe siècle, principalement ceux de Kummer, Kronecker, Dedekind et Hilbert. Au départ, les motivations sont ici essentiellement la théorie des équations puis la théorie arithmétique des nombres algébriques, qui découle de recherches relatives au théorème de Fermat ; plus tardivement, et jusqu'à l'époque contemporaine, la géométrie algébrique a été également une source d'idées essentielles.
La notion d'anneau dégage sous forme abstraite les analogies constatées par exemple dans le maniement des nombres entiers relatifs et des polynômes : un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition internes :
La théorie des corps
Les premiers exemples de corps non triviaux ont été introduits par la théorie des équations. Les travaux de Gauss avaient familiarisé les mathématiciens avec le maniement des nombres complexes et Abel, puis Galois, dégagent l'idée d'adjonction : ils considèrent les corps engendrés par les racines ou les coefficients (indéterminés) d'une équation mais, en fait, si ces auteurs définissent avec précision l'appartenance d'une quantité à un tel corps, ils ne considèrent pas explicitement l'ensemble ainsi constitué. Il faut attendre Dedekind (qui introduit le mot corps) pour une étude systématique de certains corps d'un type assez général, les corps de nombres algébriques ; ce sont des corps Q(θ) obtenus de la façon suivante : si θ est un nombre complexe racine d'une équation f (x) = 0 de degré n, à coefficients entiers, irréductible sur le corps Q des nombres rationnels, on appelle Q(θ) l'ensemble, qui est un corps, des nombres complexes a0 + a1θ + ... + an-1θn-1 où les ai sont des nombres rationnels quelconques.
Tous les corps de nombres algébriques sont des sous-corps du corps des nombres complexes ; reprenant une idée de Cauchy qui définissait les nombres complexes comme classes résiduelles de polynômes à coefficients réels modulo le polynôme x2 +1, Kronecker donne, en 1882, les premiers exemples de corps (non triviaux) définis abstraitement en montrant que, avec les notations ci-dessus, le corps Q(θ) est isomorphe au corps des classes résiduelles de polynômes à coefficients rationnels modulo le polynôme f (x). Vers la même époque, Dedekind et Weber font rentrer dans la théorie des corps le calcul des congruences modulo un nombre premier (mettant ainsi en évidence les premiers corps finis, déjà étudiés par Galois) et donnent une première esquisse d'une théorie axiomatique des corps.
À la fin du xixe siècle, les exemples de corps définis abstraitement vont se multiplier. Il faut citer surtout les corps de nombres p-adiques, introduits par Hensel et dont l'importance dans de nombreuses branches des mathématiques est considérable, et les corps de séries formelles, introduits par Véronèse en liaison avec des préoccupations de géométrie algébrique. Tous ces exemples allaient conduire Steinitz, en 1910, à développer[...]
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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