NORMÉES ALGÈBRES

Définition

Une algèbre normée est un ensemble muni à la fois d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des nombres complexes, d'une structure d' anneau et d'une norme (se reporter à l'article anneaux et algèbres).

Plus précisément, notons C le corps des nombres complexes. Un ensemble A est alors une algèbre normée si les conditions suivantes sont réunies :

a) On définit sur A deux lois de composition interne, addition et multiplication, qui munissent A d'une structure d'anneau ;

b) On définit une loi de composition externe, multiplication par les scalaires complexes, qui, jointe à la loi interne d'addition, munit A d'une structure d'espace vectoriel sur C ;

c) Les structures d'anneau et d'espace vectoriel sont compatibles en ce sens que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a et b de A, on a :

d) On définit sur A une norme, c'est-à-dire une application x ↦ ∥x∥ de A dans l'ensemble des nombres réels positifs telle que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a, b et c de A, on ait :

si et seulement si a = 0, élément neutre de l'addition dans A,

e) La distance déduite de la norme (la distance de deux éléments a et b étant, par définition, ∥a − b∥) munit A d'une structure d'espace complet (cf. espaces métriques, chap. 3).

Pour cette raison, les algèbres normées sont fréquemment appelées algèbres de Banach, par analogie avec les espaces vectoriels normés complets, dits espaces de Banach.

Si la multiplication interne est commutative, on parle d'algèbre normée commutative. Si la multiplication interne possède une unité, on parle d'algèbre normée unitaire.

Exemples

Indiquons trois types fondamentaux d'algèbres normées.

(1) Soit X un espace topologique, et soit A l'ensemble des fonctions continues et bornées sur X, muni des opérations usuelles et de la norme :

c'est une algèbre normée commutative unitaire. (2) Soit E un espace de Banach et soit A = L(E) l'ensemble des applications linéaires continues de E dans lui-même. L'addition et la multiplication par les scalaires sont définies de manière usuelle ; la multiplication interne est la composition des opérateurs linéaires. Quant à la norme, elle est définie par :c'est la norme habituelle des opérateurs. A est ainsi muni d'une structure d'algèbre normée unitaire (l'unité de A est l'opérateur I_E, identité de E dans E), non commutative si E est de dimension supérieure à 1.

(3) G est un groupe[...]