NORMÉES ALGÈBRES
Les algèbres normées commutatives
Nous allons examiner quelques propriétés fondamentales des algèbres normées en présentant d'abord la théorie dans le cas des algèbres normées commutatives et unitaires.
Idéaux maximaux et caractères
L'étude des idéaux maximaux est sans doute l'outil le plus puissant pour obtenir des propriétés des algèbres normées commutatives unitaires.
Indiquons brièvement qu'un idéal d'une algèbre normée commutative A est une partie I de A qui est un sous-espace vectoriel de A et qui, d'autre part, contient l'élément ab dès que a est un élément de I et b un élément quelconque de A. Évidemment A est un idéal (peu intéressant !) de A. Un idéal est dit maximal s'il n'est contenu strictement dans aucun idéal autre que l'algèbre A elle-même.
On appelle caractère de l'algèbre normée commutative unitaire A tout homomorphisme non identiquement nul de A dans C : autrement dit, un caractère de A est une fonction χ définie sur A, à valeurs complexes, non identiquement nulle, telle que, quels que soient λ dans C, et a et b dans A, on ait :
Il est facile de vérifier que le noyau d'un caractère, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de A où s'annule ce caractère, est un idéal maximal. En fait, caractères et idéaux maximaux satisfont aux propriétés suivantes :
a) Tout idéal propre (c'est-à-dire distinct de A) est contenu dans au moins un idéal maximal ;
b) Tout idéal maximal est fermé pour la topologie définie par la norme sur A ;
c) Tout idéal maximal est le noyau d'un caractère bien déterminé, et tout caractère admet pour noyau un idéal maximal : cela établit une correspondance biunivoque entre les idéaux maximaux et les caractères.
Les deux dernières propriétés entraînent le fait remarquable que, pour une algèbre normée commutative unitaire, tout caractère (défini uniquement par des propriétés algébriques) est automatiquement continu.
Spectre et transformation de Gelfand
L'ensemble des caractères de A est appelé spectre de A : nous noterons Δ(A) cet ensemble.
À tout élément a de A on peut associer une fonction ∧a, appelée transformée de Gelfand de a, définie sur Δ(A), à valeurs complexes : la valeur de ∧a au point χ de Δ(A) est simplement la valeur prise par le caractère χ au point a de A :
Il existe sur Δ(A) une topologie d'espace compact et une seule pour laquelle les fonctions ∧a sont toutes continues ; on considère toujours le spectre Δ(A) muni de cette topologie (topologie de Gelfand).
La correspondance entre caractères et idéaux maximaux de A se matérialise alors de la manière suivante : l'idéal maximal associé au caractère χ (le noyau de χ) est l'ensemble des éléments a de A dont les transformées de Gelfand s'annulent au point χ de Δ(A).
Reprenons l'exemple (1) dans le cas où X est un espace compact ; il est assez facile de voir que les caractères de A sont définis par les points de X : au point x on associe le caractère χx tel que, pour la fonction continue bornée f sur X, élément de A, on ait χx(f) = f(x). On obtient ainsi tous les caractères, et cette correspondance donne un homéomorphisme entre X et Δ(A) qui permet d'identifier les éléments de A et leurs transformées de Gelfand.
Pour l'exemple (3), dans le cas d'un groupe discret commutatif, le spectre de A s'identifie au groupe compact dual, et la transformation de Gelfand correspond alors à la transformation de Fourier (cf. analyse harmonique).
L'ensemble des valeurs prises par la transformée de Gelfand ∧a d'un élément a de l'algèbre normée commutative unitaire A est appelé le spectre de a (bien distinguer entre le spectre de l'algèbre et le spectre d'un élément de l'algèbre). Pour tout a ∈ A, et tout χ ∈ Δ(A), on a :
On appelle[...]
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Écrit par
- Jean-Luc SAUVAGEOT : agrégé de mathématiques, docteur ès sciences, chargé de recherche au C.N.R.S.
- René SPECTOR : professeur à l'université d'Orléans
Classification
Autres références
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CONNES ALAIN (1947- )
- Écrit par Jacques TITS
- 1 243 mots
Alain Connes, mathématicien français, a obtenu la médaille Fields en 1982 avec W. P. Thurston (États-Unis) et S. T. Yau (originaire de Chine, vivant aux États-Unis).
Alain Connes est né le 1er avril 1947 à Draguignan. Ancien élève à l'École normale supérieure, il a reçu, en 1980, le prix Ampère,...
