DIMENSIONNELLES ANALYSE & SIMILITUDE

L'homogénéité dimensionnelle des équations

Une équation est dite dimensionnellement homogène si on peut l'appliquer dans n'importe quel système d'unités sans changer ni sa forme ni la valeur de ses coefficients numériques. Par exemple, l'équation donnant l'espace parcouru en fonction du temps pour un corps tombant en chute libre dans le vide, e = (1/2) gt², est valable, que les longueurs soient exprimées en mètres, pieds ou pouces et que les temps soient mesurés en secondes, heures ou minutes ; elle est donc dimensionnellement homogène. Si on remplace dans cette équation la valeur g par 9,81 m/s², elle devient e = 4,905 t². La nouvelle équation ainsi obtenue est correcte là où l'accélération de la pesanteur vaut 9,81 m/s², mais elle n'est plus dimensionnellement homogène, car le facteur 4,905 n'est valable que si les longueurs sont exprimées en mètres et les temps en secondes.

Les lois physiques doivent s'exprimer par des relations homogènes de la forme P + Q + R + ... = 0, où les différents termes P, Q, R, ... sont des monômes ayant tous la même dimension et formés à partir des variables données. S'il n'en était pas ainsi, en effet, un simple changement dans la grandeur des unités fondamentales conduirait à des nouvelles valeurs des différents monômes P, Q, R, ... non proportionnelles aux anciennes ; la relation ne serait donc plus satisfaite, ce qui serait absurde, car les lois physiques sont indépendantes de l'homme et du symbolisme mathématique qui permet de les représenter. Il s'ensuit que si une équation résultant d'un calcul contient une somme ou une différence de deux ou de plusieurs termes qui n'ont pas la même dimension, c'est que l'équation est fausse a priori. Si, au contraire, ils ont effectivement la même dimension, il se peut que l'équation soit juste, mais ce n'est pas sûr quant à la valeur des coefficients numériques, que l'analyse dimensionnelle ne permet pas d'entériner puisqu'ils sont sans dimension. Quoi qu'il en soit, la vérification fréquente au cours d'un calcul de l'homogénéité des équations, en partant des dimensions des grandeurs qui y figurent, permet d'éviter bien des erreurs.

Les variables sans dimension ou variables réduites

Soit X₁, ..., X_i, ... des grandeurs ou variables physiques arbitraires. Si X_i est une grandeur dynamique, on peut toujours former avec X_i et trois grandeurs indépendantes de référence X₁, X₂, X₃ une nouvelle grandeur π_i de la forme :

Un certain nombre d'expressions sans dimension sont consacrées par l'usage. On les désigne par le terme de « nombres » suivi du nom des physiciens qui les ont introduites les premiers ; ainsi le nombre de Reech-Froude a été introduit par Ferdinand Reech en 1831 et utilisé pratiquement par William Froude ensuite. Cependant, en ce qui concerne les grandeurs sans dimension, les vocables de variable, grandeur, produit et nombre sont équivalents et ont tous la même signification.

Le tableau montre les principaux produits sans dimension utilisés couramment, consacrés par l'usage et ayant reçu un « nom de baptême ». Il n'a rien de limitatif et on peut former une infinité de tels nombres sans dimension à ceci près que ces derniers n'auront pas des noms universellement reconnus. Ces produits sans dimension[...]