DIMENSIONNELLES ANALYSE & SIMILITUDE

Quelques exemples d'application

Comme exemple d'application de l'analyse dimensionnelle à la mécanique des fluides, considérons le cas d'une sphère se déplaçant à la vitesse v dans un fluide de masse volumique ρ. Étudions la force de traînée F que le fluide exerce sur la sphère.

Il faut d'abord dénombrer les variables qui interviennent dans le problème : la force de traînée F, la vitesse v de la sphère, son diamètre D, la masse volumique ρ et la viscosité dynamique η du fluide. Il y a donc une relation de la forme f (F, v, D, ρ, η) = 0 et cinq variables.

Le tableau (8) permet d'écrire directement la matrice dimensionnelle (D). Son rang est r = 3 et m = n − r = 5 − 3 = 2. Une série de deux produits sans dimension est donc complète. Le système (1) s'écrit alors sous la forme (9) et u₁, u₂, u₃ peuvent s'exprimer en fonction de u₄ et u₅. Sous la forme (4) le système (9) amène aux équations (10), qui conduisent, exprimées sous la forme (5), aux solutions (11). La matrice des solutions permet alors d'établir le tableau des solutions (12), qui donne les deux produits sans dimension π₁ et π₂.

On reconnaît :

(C_x est le coefficient de traînée). La première partie du théorème de Vaschy permet alors d'écrire ϕ(C_x, Re) = 0 ou C_x = ϕ′(Re). Tous les problèmes relatifs à la traînée de la sphère dans le fluide et tous les « domaines de fonctionnement » seront donc explorés expérimentalement en faisant varier Re, puis en mesurant C_x (en soufflerie par exemple) et en traçant la courbe unique C_x = ϕ′(Re), qui aura de plus l'avantage d'être indépendante des unités.

Considérons un problème de résistance des matériaux : soit une poutre prismatique posée sur deux appuis horizontaux et supportant une charge verticale concentrée entre les deux appuis. Étudions la variation de la flèche l prise par la poutre. Cette flèche dépend de la distance L entre les appuis, de la valeur F de la charge, du module d'élasticité E de la poutre et de son inertie I en flexion. On a donc une relation de la forme f (l, F, L, E, I) = 0 avec cinq variables. L'analyse dimensionnelle donne l/L = ϕ(FL²/EI, I/L⁴).

En thermodynamique, la transmission de la chaleur à un fluide s'écoulant en régime turbulent dans une tuyauterie dépend des variables suivantes : le diamètre D de la tuyauterie, la vitesse moyenne v du fluide, la masse volumique ρ et la viscosité cinématique ν du fluide, sa conductivité thermique λ et sa capacité thermique massique à pression constante c_p, la différence ▵θ entre la température moyenne du fluide dans une section donnée et la température de la paroi de la tuyauterie dans la même section. On a donc f (D, v, ρ, ν, λ, c_p, ▵θ), soit sept variables. Le rang de la matrice dimensionnelle est 4 et on peut former une série complète de m = 7 − 4 = 3 produits sans dimension. On trouve les nombres de Nusselt Nu, de Prandtl Pr et de Reynolds Re, et on peut écrire Nu = ϕ(Re, Pr).

En électromagnétisme, la chute de potentiel U à travers un thermistor (conducteur électrique dont la résistance tombe notablement lorsque la température augmente) est fonction de l'intensité I du courant, de la température ambiante θ₀, de la résistance R₀ à la température θ₀, du coefficient de convection thermique h_c entre le thermistor et le milieu ambiant et d'une constante a caractéristique du thermistor. Il y a donc une relation de la forme U = f (I, θ₀, R₀, h_c, a) avec six variables. Le rang de la matrice dimensionnelle est égal à trois et une série complète comprendra trois produits sans dimension formés à partir de ces variables. Ce sont par exemple π₁ = U/√ R₀ah_c, π₂ = θ₀/a, π₃ = I √ R₀/ah_c, et le[...]