HARMONIQUE ANALYSE
Analyse et synthèse harmoniques
Considérons une fonction f continue, de période 2π, et soit :
Si nous appelons ft la translatée de f par t, définie par ft(x) = f (x − t), nous obtenons :
En considérant l'intégrale comme une limite de sommes finies, on peut dire, de manière peu précise mais imagée, que cneinx (ou aussi bien einx lorsque cn n'est pas nul) est limite de combinaisons linéaires de translatées de f.
Cela nous conduit à la notion d'analyse harmonique et de spectre d'une fonction. Soit E un espace vectoriel topologique de fonctions définies sur l'ensemble R des nombres réels, tel que si f ∈ E et t ∈ R, la translatée ft appartienne à E, avec certaines conditions de continuité ; on suppose, de plus, que toute fonction exponentielle eiλx, λ réel, appartient à E.
On dira qu'un nombre réel λ appartient au spectre d'un élément f de E si la fonction eiλx peut être approchée, au sens de la topologie de E, par des combinaisons linéaires de translatées de f. On note σE(f ), spectre de f dans E, l'ensemble des tels λ (pour une fonction donnée, la notion de spectre peut dépendre de la topologie dont est muni l'espace E).
Le problème de l'analyse harmonique dans E d'une fonction f est la détermination de σE(f ). Le problème de la synthèse harmonique dans E de f est le suivant : f est-elle limite, dans E, de combinaisons linéaires d'exponentielles, eiλx, avec λ ∈ σE(f ) ? Si la réponse est positive, on dit que f satisfait à la synthèse harmonique (ou encore que f est synthétisable) dans E.
Prenons, par exemple, pour E l'espace des fonctions continues et bornées sur R, avec la topologie de la convergence uniforme. Si f est une fonction périodique appartenant à E, le spectre de f est l'ensemble des entiers n tels que les coefficients de Fourier cn correspondants soient non nuls ; le théorème de Fejer sur la convergence uniforme vers f des moyennes de Césaro montre que f est synthétisable dans E. Plus généralement, si f est presque-périodique, de série de Fourier :
En fait, les questions les plus intéressantes concernant la synthèse harmonique se posent lorsque l'on prend pour E l'espace L∞(R), muni de sa topologie faible d'espace dual de L1(R) (cf. intégration et mesure). Ces problèmes, ainsi que leur généralisation au cas où l'on considère d'autres groupes que R (cf. chap. 4) sont loin d'être tous résolus et leur étude est l'un des points essentiels de l'analyse harmonique moderne.
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Écrit par
- René SPECTOR : professeur à l'université d'Orléans
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