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HARMONIQUE ANALYSE

La transformation de Fourier

Certaines classes importantes de fonctions ne se prêtent pas à l'analyse harmonique telle qu'elle a été définie ci-dessus. Ainsi, l'espace L1(R) des (classes de) fonctions intégrables sur R ne contient aucune exponentielle ; aussi utilise-t-on un autre procédé pour en faire l'analyse et la synthèse. C'est la transformation de Fourier qui permet de définir le spectre d'une fonction intégrable et, dans certains cas, d'en faire la synthèse.

Soit f une fonction intégrable (par exemple, continue et nulle hors d'un ensemble borné). À f on associe une autre fonction définie sur R, notée f̂ ou Ff, et appelée transformée de Fourier de f :

La présence du coefficient − 2π est conventionnelle (la convention n'est d'ailleurs pas universelle) et permet d'avoir une formule de réciprocité particulièrement simple.

Définissons, outre l'opérateur F de transformation de Fourier, l'opérateur F− de transformation de Fourier conjuguée (ou réciproque) :

Pour toute fonction f, et tout réel t, on a :

Propriétés de la transformation de Fourier

a) Pour toute fonction intégrable f, Ff est continue et tend vers 0 à l'infini. Si on désigne par A(R) l'ensemble des fonctions Ff, pour f ∈ L1(R), A(R) est donc un sous-espace de l'espace vectoriel C0(R) des fonctions continues sur R qui tendent vers 0 à l'infini. En fait, A(R) est strictement plus petit que C0(R). b) Si f et g sont intégrables, leur produit de convolution f * g, défini par :

l'est également. On a alors la relation :
de sorte que A(R) est un anneau de fonctions continues sur R, de même que L1(R) est un anneau pour la convolution. Cette circonstance permet d'appliquer à l'étude de A(R) et de L1(R) la théorie des algèbres normées (cf. algèbres normées), qui en est d'ailleurs issue en grande partie. c) Si y et u sont des réels, ϕ une fonction, on définit les fonctions ϕy, ϕu, ϕ−, ̌ϕ, ̃ϕ par :

On a alors :

d) Si f est dérivable et si f et f ′ sont intégrables, on a :
e) Si f est intégrable, ainsi que son produit par x, alors Ff est dérivable et on a :

Il est intéressant de voir comment certaines propriétés des fonctions se traduisent sur leurs transformées de Fourier.

Par exemple, les relations (8) et (9) montrent que plus une fonction est régulière (dérivable), plus sa transformée de Fourier tend rapidement vers 0 à l'infini. Inversement, plus f tend rapidement vers 0 à l'infini, plus Ff est régulière. Voici un autre exemple, présenté en termes vagues : plus les valeurs d'une fonction sont concentrées autour de l'origine, plus celles de sa transformée de Fourier sont, au contraire, étalées.

Le théorème de réciprocité

De même que la série de Fourier d'une fonction périodique caractérise celle-ci, sans qu'aucune propriété de convergence soit nécessaire, la transformée de Fourier d'une fonction f caractérise cette fonction. Donc la donnée de Ff contient toute l'information relative à f. Dans certains cas, il est possible d'exprimer f explicitement à partir de Ff.

Théorème. Si f et Ff sont toutes deux intégrables, on a :

C'est là une remarquable propriété de symétrie entre les opérateurs F et F−.

On peut encore interpréter cela comme une propriété de synthèse : si on appelle spectre de f le support de sa transformée de Fourier Ff, c'est-à-dire l'adhérence de l'ensemble des points où Ff ne s'annule pas, le théorème de réciprocité, lorsque Ff est intégrable, s'écrit :

et exprime que f est, en un certain sens, synthétisable, puisque f (x) s'exprime sous la forme d'une intégrale (donc comme limite de combinaisons linéaires) à partir des exponentielles qui correspondent à des valeurs t contenues dans son spectre.

Une classe très importante[...]

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    Interpolation de fonctions - crédits : Encyclopædia Universalis France
    Dans les problèmes d'analyse harmonique des phénomènes non périodiques (cf. analyse harmonique, chap. 3), on utilise la transformation de Fourier, réelle ou complexe, définie par la relation :
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