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ANALYSE MATHÉMATIQUE

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Fonctions elliptiques

Un des plus beaux exemples de l'élargissement apporté à l'analyse classique par la considération des fonctions de variables complexes est fourni par la théorie des fonctions elliptiques, développée par Abel et Jacobi indépendamment des premiers travaux de Cauchy (une bonne part de leurs résultats et même des développements plus tardifs sur la fonction modulaire ont d'ailleurs été retrouvés dans les papiers non publiés de Gauss, datant des environs de 1800).

Depuis le milieu du xviie siècle, le calcul de la longueur d'un arc d'ellipse posait aux analystes un problème non résolu : il s'agissait d'exprimer « en termes finis » (c'est-à-dire par une combinaison de « fonctions élémentaires » telles que xα, log x, ex) l'intégrale elliptique :

(k réel ≠ 0, ± 1).

Liouville devait prouver plus tard qu'il n'existe pas de telle expression, mais dès la fin du xviiie siècle, on commençait à étudier les propriétés de la fonction I(x) comme une nouvelle « transcendante ».

Le progrès considérable dû à Abel et à Jacobi consista d'une part à considérer la fonction « inverse » x=snu définie par I(x)=u, par une extension hardie du procédé qui peut servir à définir la fonction sin u comme solution de :

et d'autre part à donner à u des valeurs complexes. Cette extension du domaine de la « fonction elliptique » sn u mit aussitôt en évidence sa propriété fondamentale de double périodicité : il y a deux nombres réels non nuls K, K′ tels que :

Les nouvelles fonctions ainsi introduites devaient jouer un rôle très important en analyse, en géométrie algébrique et en théorie des nombres.

Déjà, avec Abel et Jacobi, avait commencé l'étude des « intégrales abéliennes » :

généralisation très vaste des intégrales elliptiques, où y est une « fonction algébrique » de x, définie par une équation polynomiale P(x, y) = 0, et R(x, y) une fraction rationnelle en x et y ; pour le cas où y2 = Q (x), où Q est un polynôme du 5e degré, Jacobi avait résolu le problème d'« inversion » analogue à celui de l'intégrale elliptique : il avait montré que, pour obtenir des fonctions analytiques « uniformes », il faut considérer, non pas l'unique équation :
mais deux équations :
et que, de ces équations, on tire les fonctions symétriques x1 + x2 et x1x2 comme fonctions analytiques des deux variables complexes u1, u2, ces fonctions étant quadruplement périodiques. Weierstrass et Riemann menèrent à bien la solution du problème général, qui introduit un invariant algébrique fondamental, l'entier p dit «   genre » de la courbe algébrique P(x, y) = 0 ; la solution fait alors intervenir des fonctions analytiques de p variables complexes, les « fonctions abéliennes », qui sont 2p fois périodiques. Indiquons que la théorie contemporaine des fonctions automorphes constitue une vaste généralisation des fonctions elliptiques et abéliennes, où le « groupe des périodes » Z2p est remplacé par un sous-groupe discret du groupe unimodulaire SL (n, C).

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