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ANALYSE MATHÉMATIQUE

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Équations différentielles et équations aux dérivées partielles

Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations aux dérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces.

Dans l'étude de ces équations, le xixe siècle se marque encore par un changement de point de vue assez net : au xviiie siècle, on se souciait surtout de trouver des méthodes d'étude pour des équations de type assez spécial, mais donnant les solutions sous forme explicite, par des « quadratures » portant sur des combinaisons algébriques des fonctions données (autrement dit, on cherchait à ramener les équations proposées à des résolutions d'équations du type particulier y′ = f(x), comme on avait cherché à résoudre les équations algébriques en les ramenant aux équations binômes xn = a).

Au contraire, à partir de Cauchy, on s'attaque aux équations les plus générales, et on précise les « conditions initiales » additionnelles auxquelles on assujettit les solutions, de façon à obtenir, sous des conditions très larges, des théorèmes d'existence et d'unicité, ainsi que des procédés d'approximation de la solution. Mentionnons seulement ici les deux plus simples de ces théorèmes : pour une équation différentielle de la forme y′ = f(x, y) avec second membre continûment différentiable, il existe, au voisinage d'un point x0, une et une seule solution y = u(x) de l'équation telle que u(x0) soit un nombre donné y0. De même, pour une équation aux dérivées partielles de la forme :

avec second membre continûment différentiable, il existe, au voisinage d'un point (x0, y0), une et une seule solution z = u(x, y) de l'équation telle que u(x0, y) soit une fonction donnée ϕ (y).

De Cauchy à nos jours, les problèmes soulevés par la théorie des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles n'ont cessé d'être un des plus vigoureux stimulants du développement de l'analyse, suscitant la naissance et le développement de nouvelles théories, qui souvent se sont révélées d'une importance bien plus grande que le problème particulier qui leur avait donné naissance. Les plus importants de ces développements sont les suivants :

A) Pour les équations aux dérivées partielles (et les systèmes de telles équations), les théorèmes de Cauchy ne s'appliquent qu'à des types assez restreints d'équations. Leur extension à des cas plus généraux et l'examen des cas où ils perdent leur validité (données initiales « caractéristiques ») ont fait l'objet de la théorie des systèmes différentiels dont l'expression la plus générale et la plus élégante a été donnée par É.  Cartan, et où il reste encore beaucoup de points à élucider.

B) Les théorèmes d'existence et d'unicité de Cauchy sont de nature locale tant en ce qui concerne les conditions initiales que l'existence de la solution. D'autres types de « conditions aux limites » pour les équations différentielles et les équations aux dérivées partielles, de nature globale (c'est-à-dire impliquant les valeurs de la solution ou de ses dérivées dans tout son domaine d'existence, et non plus seulement au voisinage d'un point), se sont naturellement présentés dans les applications à la physique mathématique (problèmes de Sturm-Liouville, de Dirichlet, de Neumann, etc.), et leur solution a eu de nombreuses répercussions en mathématiques[...]

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