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ANALYSE MATHÉMATIQUE

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Mesure et intégration

La conception de l'intégrale au xviiie siècle reposait sur la notion intuitive d'« aire » : pour une fonction f (x), continue et ≥ 0 dans un intervalle a ≤ x ≤ b, l'intégrale :

était l'aire comprise entre la courbe y = f (x), l'axe Ox et les deux droites x = a et x = b. Avec la remise en ordre générale de l'analyse entreprise par Cauchy, on revient à une définition rigoureuse n'empruntant rien à l'intuition de l'espace : la valeur de l'intégrale est par définition prise comme limite, pour n tendant vers + ∞, des sommes :
dites souvent « sommes de Riemann » (bien qu'en fait l'idée de considérer ces « valeurs approchées » de l'intégrale remonte à Eudoxe et Archimède et ait été l'inspiration des inventeurs du calcul intégral au xviie siècle). La contribution de Riemann lui-même fut de s'apercevoir que les sommes précédentes ont encore une limite lorsque la fonction f n'est plus nécessairement continue, mais a un ensemble de points de discontinuité qui, pour tout ε > 0, peut être contenu dans une réunion finie d'intervalles dont la somme des longueurs est ≤ ε.

L'intérêt propre de ce résultat était assez mince, mais il déclencha, dans le dernier tiers du xixe siècle, toute une série d'études en vue de définir, dans des cas aussi généraux que possible, une notion de «  mesure » des sous-ensembles de R, et d'« intégrale » d'une fonction de variable réelle. Elles devaient finalement aboutir, vers 1900, avec Émile Borel et Henri Lebesgue, à la définition de l'«  intégrale de Lebesgue », que l'expérience a montré être la notion d'« intégrale » commode et féconde pour d'innombrables applications.

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D'autre part, en vue d'étudier un problème particulier d'analyse, Stieltjes, en 1894, élargit la définition traditionnelle de « mesure » sur R, qui donne pour « mesure » des intervalles d'extrémités a et b le nombre b − a ; Stieltjes considère plus généralement une fonction croissante ϕ, continue à droite (c'est-à-dire, telle que ϕ(x+) = ϕ(x)), et prend comme définition de la « mesure » de l'intervalle a < x ≤b le nombre ϕ(b) − ϕ(a), calquant ensuite la définition de l'intégrale :

sur celle de Cauchy. Un des intérêts de cette généralisation est qu'elle donne un sens mathématique aux « mesures ponctuelles » des physiciens : aux points a où la fonction ϕ est discontinue, l'ensemble {a} a une « mesure » non nulle égale au « saut » ϕ(a) − ϕ(a-) de ϕ (ce qui implique naturellement que les quatre intervalles ayant pour extrémités a et b [qui peuvent ou non appartenir à l'intervalle] n'ont pas nécessairement même « mesure »). En outre, les méthodes de Lebesgue s'appliquent aussi à cette « mesure » plus générale, et on s'est aperçu plus récemment qu'elles sont valables dans des « espaces » beaucoup plus généraux que R, ce qui a donné à l'intégration un rôle de premier plan aussi bien dans l'analyse fonctionnelle que dans le calcul des probabilités.

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