- 1. La théorie des fonctions analytiques
- 2. Fonctions elliptiques
- 3. Équations différentielles et équations aux dérivées partielles
- 4. L'avènement de la théorie des ensembles et de la topologie
- 5. Mesure et intégration
- 6. Théorie spectrale et analyse fonctionnelle
- 7. Géométrie différentielle
- 8. Groupes de Lie et espaces fibrés
- 9. Représentations linéaires des groupes de Lie ; analyse harmonique
- 10. Conclusion
- 11. Bibliographie
ANALYSE MATHÉMATIQUE
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Théorie spectrale et analyse fonctionnelle
On sait qu'un problème célèbre de mécanique consiste à déterminer les « petites oscillations » au voisinage d'une position d'équilibre d'un système formé d'un nombre fini de solides, donc « à un nombre fini de degrés de liberté » (ce qui signifie que l'état du système est entièrement connu par la donnée d'un nombre fini de paramètres réels qj(1 ≤ j ≤ n) qui varient en fonction du temps t). La solution, due à Lagrange, consiste à chercher les « oscillations propres » (ou « en phase »), c'est-à-dire de la forme qj(t) = cjϕ(t), où cj est une constante, et où figure pour tous les indices j la même fonction du temps ϕ (t) ; en admettant que l'énergie du système est un polynôme quadratique par rapport aux qj, et en cherchant, pour la commodité du calcul, les solutions complexes des équations du mouvement, on trouve qu'il n'y a qu'un nombre fini de fonctions ϕ(t) possibles, de la forme exp (iλkt), où les nombres λ2k sont les valeurs propres d'une matrice carrée symétrique U = (aji) d'ordre n. Si les λ2k sont supposés distincts, il correspond à chacun d'eux un vecteur propre ck = (ckj) 1 ≤ j ≤ n, solution de l'équation U(x = λ2kx ; toute « oscillation » du système donné est alors combinaison linéaire des oscillations propres qk (t) = ck exp (iλkt).
La mécanique des milieux continus conduisait à des problèmes analogues, mais avec « une infinité de degrés de liberté » ; les exemples les plus simples en sont les petites oscillations d'une corde ou d'une membrane tendue : la forme de la corde (ou de la membrane) ne peut être décrite par un nombre fini de fonctions du temps seul, mais bien par une fonction u(x, t), ou u(x, y, t), qui représente le déplacement à l'instant t du point d'abscisse x (respectivement de coordonnées x, y) sur la corde (ou la membrane). Les oscillations « en phase », où tous les points se meuvent « de la même façon » dans le temps, sont ici observables expérimentalement (ce sont les « sons harmoniques »). Mathématiquement, elles correspondent à des solutions de la forme u(x, t) = v(x)ϕ(t) pour la corde (respectivement u(x, y, t)=v(x, y)ϕ(t) pour la membrane). On trouve encore que la fonction ϕ(t) doit, dans les deux cas, être de la forme exp (iλt) et l'on a alors pour la corde homogène l'équation v″ + λ2v = 0, pour la membrane l'équation :
Il faut exprimer en outre que la corde est fixée en ses extrémités, ce qui donne (en supposant que ces extrémités sont x = 0 et c = 1) v (0) = v (1) = 0, et que la membrane est fixée sur son contour Γ, ce qui donne v (x, y) = 0 le long de la courbe Γ ; c'est ce qu'on appelle les conditions aux limites du problème (fort différentes, comme on le voit, des « conditions initiales » de Cauchy). La solution est très simple pour la corde homogène, puisqu'on intègre explicitement l'équation v″ + λ2v = 0 : on trouve aussitôt qu'on doit avoir λ2 = n2π2, où n est entier, ce qui concorde avec les résultats expérimentaux. Mais déjà lorsque la corde n'est pas homogène, l'équation donnant v(x) (avec les mêmes conditions aux limites) est :
L'idée générale qui permit de vaincre ces difficultés est celle du « passage du fini à l'infini ». Cette idée fut déjà exprimée au xviiie siècle par Daniel Bernoulli : l'illustre savant considérait l'oscillation[...]
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
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