NUMÉRIQUE ANALYSE

Les problèmes et les méthodes numériques ne délimitent pas un secteur spécifique des mathématiques ; ils interviennent en effet non seulement dans les domaines traditionnels (analyse classique et équations fonctionnelles), mais aussi en algèbre, en théorie des nombres, etc. La spécificité de l'analyse numérique relève de trois aspects majeurs :

– une démarche originale combinant les possibilités théoriques et expérimentales, où le développement des moyens de calcul sur ordinateurs joue un rôle déterminant ;

– le développement de concepts et de méthodes de type quantitatif en mathématiques, en liaison étroite avec d'autres disciplines, notamment les sciences physiques et l'informatique ;

– l'élaboration de méthodes directement liées aux problèmes posés.

Dans cette encyclopédie, le parti a été pris de développer les aspects numériques dans chacun des différents articles. Nous nous bornerons ici à classer les problèmes et à renvoyer aux articles correspondants.

Pour les équations numériques à une variable, on se reportera à calcul numérique ; pour les problèmes linéaires et les problèmes d'optimisation, à l'articleprogrammation ; pour les problèmes non linéaires à plusieurs variables, notamment la méthode de descente et la méthode du gradient, voir égalementprogrammation. Enfin, pour les équations différentielles, on se reportera au chapitre 7 de l'article équationsdifférentielles et, pour les équations aux dérivées partielles, à l'article équations auxdérivées partielles - Analyse numérique.

Problèmes et méthodes numériques

Le rôle de l'analyse numérique

L'analyse numérique tient une place capitale dans les interventions des mathématiques, aussi bien en sciences physiques que dans le domaine de la biologie, des technologies et des sciences économiques et sociales. Mais elle offre aussi des possibilités très riches pour les sciences mathématiques elles-mêmes : sans oublier que, dans le passé, les problèmes numériques ont constitué un moteur pour le développement des concepts de l'analyse (cf. calcul numérique), il convient de souligner que le développement récent des moyens de calcul scientifique a ouvert de nouvelles perspectives :

– le traitement de problèmes classiques à un niveau beaucoup plus complexe (par exemple la résolution de systèmes linéaires à un grand nombre d'inconnues et d'équations différentielles) ;

– le traitement de problèmes que les moyens classiques ne permettaient même pas d'aborder (équations aux dérivées partielles, problèmes variationnels, codages...) ;

– la simulation de problèmes (comportement des systèmes dynamiques discrets et continus, problèmes aux limites) permettant d'étudier l'influence des paramètres, la stabilité des solutions et les singularités ;

– des calculs portant non seulement sur des nombres ou des systèmes de nombres, mais sur des objets formels (polynômes, fonctions transcendantes élémentaires, fonctions spéciales) ;

– l'expérimentation : découverte et invalidation de conjectures, notamment en théorie des nombres ;

– la démonstration « automatique » de théorèmes : la résolution du problème des quatre couleurs, ou l'étude de la structure des groupes finis simples (cf. groupes - Groupes finis, chap. 2) en sont des exemples frappants.

Ces possibilités ont un effet en retour : la construction d'algorithmes et l'étude comparée de leur performance interviennent maintenant dans l'ensemble des mathématiques.

Dans la suite de ce texte, on traitera essentiellement des concepts et des méthodes de l'analyse numérique proprement dite, en renvoyant à l'article algorithmique pour des aspects complémentaires.

Concepts et méthodes de l'analyse numérique

Le concept d'approximation

Dans toutes les questions de[...]

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Écrit par

Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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