MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967)

Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen Logik, 1936, Maltsev démontre la version la plus générale (aucune restriction de cardinalité) du théorème de compacité pour les langages du premier ordre, d'où directement découlent une forme du théorème de Löwenheim-Skolem et la méthode des diagrammes. Cette méthode, systématiquement élaborée et considérablement généralisée par Maltsev tout au long de sa carrière — au début des années cinquante, Maltsev introduit la notion remarquable de « modèle-correspondance », où il est un des premiers à exploiter les logiques à plusieurs types d'objet —, est spécialement adaptée à l'étude des structures qui possèdent localement certaines propriétés et aux problèmes de plongement. Dans une longue série d'articles, dont le plus spectaculaire est consacré aux groupes linéaires, Maltsev applique ses techniques à la théorie des groupes. Quand la méthode des diagrammes sera redécouverte après 1945 par A. Robinson et L. Henkin, les applications qu'ils en tirent paraissent rétrospectivement assez fades.

Les problèmes de plongement interviennent également sous l'angle purement algébrique dans deux autres articles de Maltsev des années trente. Il y donne un exemple d'anneau intègre non plongeable dans un corps, et une condition nécessaire et suffisante de plongement d'un monoïde dans un groupe. Cette condition a une forme syntaxique assez particulière, qui amènera Maltsev à étudier les variétés et quasi-variétés (au sens de l'algèbre générale).

En algèbre pure, Maltsev étudie également les groupes et algèbres de Lie, et il y prolonge les travaux d'É. Cartan. Il obtient plusieurs résultats marquants sur les groupes résolubles linéaires (théorème de Kolchin-Maltsev, polycyclicité des groupes résolubles de matrices à coefficients entiers). Des considérations algébriques (correspondance entre groupes et anneaux) lui permettent d'établir ou de redécouvrir l'indécidabilité de plusieurs théories de groupes, dont celle des groupes nilpotents.

À la fin des années cinquante, ses travaux deviennent plus inégaux, et parfois obsolètes avant que de paraître. Dans le domaine des produits de modèles et de la préservation des formules, il est dépassé par la jeune école américaine, dont il relate les travaux avec une objectivité peu commune chez les députés du Soviet suprême (auquel ce fils d'artisan, travailleur acharné, organisateur inlassable, nageur émérite et pianiste autodidacte, a été « élu »). En dépit d'un isolement scientifique considérable dû à la Seconde Guerre mondiale et au stalinisme, il est le fondateur d'une école soviétique de logiciens algébristes qui travaillent sur les voies qu'il a ouvertes, principalement à Novosibirsk ; et son nom demeure comme celui du premier logicien à avoir appliqué systématiquement la logique à l'algèbre (les résultats de Skolem sur les algèbres de Boole, bien antérieurs, sont sans suite immédiate ; ceux de Tarski, bien que sans doute plus fondamentaux, paraissent avoir été obtenus « contre » l'algèbre ; et ceux d'A. Robinson sont bien postérieurs, pour faire le tour de tous ses « rivaux »). Son œuvre contient maints résultats profonds, souvent redécouverts et paradoxalement peu connus, et son influence est comparable à celle de Robinson ou même de Tarski.

— Gabriel SABBAGH