WEIL ANDRÉ (1906-1998)

Mathématicien français, André Weil a mené des travaux portant principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres.

Né le 6 mai 1906, André Weil entra à l'École normale supérieure à l'âge de seize ans ; il fut docteur ès sciences à vingt-deux ans, avec une thèse qui fit époque : il y étendait à toutes les courbes algébriques un théorème de finitude obtenu peu auparavant par L. Mordell pour les courbes de genre 1, théorème qui permit peu après à C. L. Siegel de démontrer son théorème général de finitude du nombre de solutions entières d'une équation diophantienne à deux variables.

Mathématicien universel, A. Weil a cependant toujours marqué sa prédilection pour la théorie des nombres et la géométrie algébrique. Après sa thèse, son œuvre la plus importante dans ce domaine est la démonstration de ce qu'on avait appelé l'« hypothèse de Riemann pour les courbes algébriques sur un corps fini », donnant la meilleure majoration possible du nombre de solutions d'une équation polynomiale à 2 variables sur un corps fini F_q en fonction de q et du genre de la courbe donnée par cette équation. Pour parvenir à ce résultat, Weil dut, tout d'abord, dans un ouvrage de base intitulé Foundations of Algebraic Geometry (1946), développer toute la géométrie algébrique sur un corps quelconque et, surtout, la théorie des intersections, puis appliquer cette théorie générale à l'étude des courbes algébriques et à celle des variétés abéliennes (sur un corps quelconque), cette dernière étant créée de toutes pièces par lui. En cherchant à étendre ses résultats sur l'« hypothèse de Riemann » aux équations polynomiales à un nombre quelconque de variables, Weil émit une série de remarquables conjectures qui servirent de ferments et de guides précieux dans le développement de la géométrie algébrique des vingt années suivantes, et qui ont finalement été démontrées, de 1963 à 1973, grâce aux efforts conjugués de A. Grothendieck, M. Artin et P. Deligne.

Les travaux de Weil en théorie des nombres portent aussi sur l'introduction de nouvelles notions en théorie du corps de classes (les groupes de Weil), le développement de la théorie de la multiplication complexe (avec Shimura et Taniyama) et les relations entre la théorie arithmétique des courbes elliptiques et celle des fonctions modulaires. Par ailleurs, en 1940, il avait participé, avec Pontrjagin et Gelfand, à la création de l'analyse harmonique commutative générale, publiant un ouvrage célèbre intitulé L'Intégration dans les groupes topologiques et ses applications, qui resta le livre de base de l'analyse harmonique durant de longues années. À partir de 1950, il montra d'une part que l'analyse harmonique est à la base de la théorie classique des variétés abéliennes sur le corps des nombres complexes et des fonctions thêta ; d'autre part, en appliquant l'analyse harmonique aux groupes d'idèles et d'adèles, dans son livre classique Basic Number Theory, il a montré (avec Tate) qu'elle comprend comme champ d'application particulier toute la théorie classique des nombres algébriques, y compris celle du corps de classes abélien. Avec Tamagawa, il a inauguré l'étude des groupes classiques « adélisés » et montré que cette étude comprend et généralise les résultats de Siegel sur les formes quadratiques à coefficients entiers, et que des connaissances plus précises sur l'analyse harmonique de ces groupes donneraient sans doute la clé de la théorie encore conjecturale du corps de classes non abélien.

Dans d'autres domaines, A. Weil a introduit, entre autres, la notion d'espace uniforme en topologie, développé la théorie de la cohomologie des espaces homogènes (à l'aide de ce qu'on appelle l'« algèbre[...]