ANNEAUX COMMUTATIFS
Dans tout ce qui suit, on se bornera à considérer des anneaux commutatifs unitaires, c'est-à-dire possédant un élément unité pour la multiplication, noté 1. Les définitions sont celles de l'article suivant, anneaux et algèbres.
De nombreux cas particuliers d'anneaux commutatifs unitaires ont été étudiés au xixe siècle, principalement à propos de recherches de théorie des nombres et de géométrie algébrique. Introduits à l'origine pour étudier la divisibilité dans de tels anneaux, les idéaux, cas particuliers de modules, se sont révélés essentiels dans de nombreuses questions. En fait, la classification des différents types d'anneaux s'effectue suivant la structure de leurs idéaux.
L' arithmétique des anneaux dits principaux est analogue à l'arithmétique des nombres entiers ou des polynômes ; plus généralement, on peut étudier de manière satisfaisante l'arithmétique des anneaux de Dedekind : ici, les propriétés de divisibilité, déroutantes a priori, s'expriment harmonieusement dans le cadre de la théorie des idéaux. Une autre généralisation possible des anneaux principaux, qui englobe d'ailleurs la précédente, est liée à des conditions de finitude : tout idéal d'un anneau principal est formé des multiples d'un élément ; plus généralement, on peut considérer les anneaux dans lesquels tout idéal est formé des combinaisons linéaires (à coefficients dans l'anneau) d'un nombre fini d'éléments, et ces anneaux, appelés noethériens, possèdent une remarquable propriété de stabilité, découverte par Hilbert, à savoir que l'anneau des polynômes sur un anneau noethérien est lui-même noethérien. Pour terminer, mentionnons ici la classe importante des anneaux locaux, qui possèdent un unique idéal maximal : cela signifie qu'il existe un idéal propre contenant tous les autres idéaux propres de l'anneau ; ces anneaux jouent un grand rôle dans la théorie des variétés algébriques, différentiables ou analytiques, car les anneaux de germes de fonctions sont de ce type. L'étude des anneaux locaux est très liée à des considérations topologiques.
Rapports entre les différents anneaux
Encyclopædia Universalis France
Le tableau précise les rapports entre ces différents anneaux, chaque flèche exprimant qu'une propriété en entraîne une autre.
Notions fondamentales
Divisibilité
La présence dans un anneau de diviseurs de zéro, c'est-à-dire d'éléments a et b, tous deux non nuls, dont le produit est nul, rend illusoire toute théorie satisfaisante de la divisibilité. Les anneaux commutatifs sans diviseurs de zéro sont appelés des anneaux intègres ou anneaux d'intégrité. Nous allons, dans ce qui suit, préciser quelques propriétés de la divisibilité dans un tel anneau d'intégrité A. Dans toutes ces questions de divisibilité, seul intervient le fait que l'ensemble A* des éléments non nuls de l'anneau A est muni d'une loi de composition interne (x, y) → xy (la multiplication) associative, commutative, avec un élément unité ; un ensemble muni d'une loi possédant ces propriétés est appelé un monoïde. Nous énoncerons les définitions générales relatives à la divisibilité dans le cadre d'un monoïde A* quelconque, ce qui sera utile dans la troisième partie.
On dit qu'un élément b de A* divise un élément a de A*, ou encore que a est divisible par b s'il existe un élément c tel que a = bc. Il est clair que cette notion de divisibilité généralise la notion usuelle de divisibilité dans le monoïde Z* des entiers relatifs non nuls et possède des propriétés analogues : par exemple, si c divise b et si b divise a, alors c divise a.
Dans toutes les questions de divisibilité, un rôle essentiel est joué par les unités, qui sont les éléments inversibles (ou encore, avec la terminologie ci-dessus, les éléments qui divisent l'élément unité[...]
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Média
Rapports entre les différents anneaux
Encyclopædia Universalis France
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ANNEAUX & ALGÈBRES
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