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ANNEAUX COMMUTATIFS

L'arithmétique élémentaire et les anneaux principaux

Un anneau principal est un anneau d'intégrité dans lequel tout idéal est principal, c'est-à-dire formé des multiples d'un même élément, appelé générateur de l'idéal. L'étude de la divisibilité dans un tel anneau est analogue à la théorie arithmétique élémentaire des nombres entiers, qui en constitue d'ailleurs un cas particulier. L'étude de la divisibilité dans l'anneau K [X] des polynômes à une variable sur un corps K rentre aussi dans ce cadre.

Exemples

a) Montrons que l'anneauZdes entiers relatifsest principal. La démonstration repose sur la propriété suivante de divisibilité dans cet anneau : étant donné deux entiers rationnels a et b, b > 0, il existe un couple et un seul d'entiers rationnels q et r tels que :

les nombres q et r s'appellent respectivement le quotient et le reste de la division de a par b. Soit donc maintenant a un idéal de Z. Si a = {0}, on a a = (0) ; sinon a contient des éléments strictement positifs puisque avec tout élément a il contient son opposé − a = ( − 1) a. Soit b le plus petit élément strictement positif de a ; montrons que tout élément a de a est un multiple de b. En effet, l'existence de la division dans Z permet d'écrire a = bq + r, 0 ≤ r < b ; or le multiple bq de b appartient à a, donc aussi r = a − bq : la définition de b entraîne r = 0.

b) Un autre exemple important d'anneau principal est l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps commutatif K. La démonstration repose ici encore sur l'existence dans cet anneau d'une division « euclidienne » : si A et B sont des polynômes, il existe un couple et un seul de polynômes Q et R tels que A = BQ + R, le degré de R étant strictement inférieur au degré de B. On montre alors, par une démonstration analogue à ce qui précède, qu'un idéal a ≠ (0) de K[X] est formé des multiples de tout polynôme B non nul de a dont le degré est le plus petit possible.

c) À propos de recherches sur les formes quadratiques, Gauss a utilisé le fait que l'anneau des nombres complexes de la forme a + bi, a, b ∈ Z (appelés entiers de Gauss), possède une arithmétique comparable à celle des entiers ordinaires. Ce fait s'explique, avec la terminologie ci-dessus, par le fait que cet anneau est principal.

Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple

Dans ce qui suit, nous nous limiterons, pour simplifier les notations, au cas de deux éléments, mais il est clair que tous les résultats s'étendent sans difficulté au cas d'un nombre fini d'éléments.

Soient x, y deux éléments d'un anneau principal A et considérons l'idéal (x, y) constitué par les éléments de la forme ax + by, a, b ∈ A. Puisque A est principal, cet idéal est engendré par un élément d, déterminé à cela près qu'on peut le remplacer par ud, où u est un élément inversible quelconque de l'anneau. On appelle plus grand commun diviseur (en abrégé P.G.C.D.) de x et y tout élément d tel que (x, y) = (d).

Puisque d ∈ (d), on voit en particulier qu'il existe a, b ∈ A tels que :

(ce résultat constitue le théorème de Bezout). Justifions la terminologie adoptée en montrant qu'un élément z de A divise simultanément x et y si et seulement s'il divise d : puisque (d) contient x et y, ces nombres sont des multiples de d et, par suite, tout diviseur de d divise x et y ; réciproquement, si z divise x et y, écrivons x = zx′, y = zy′, et portons dans (*) ; on obtient d = z(ax′ + by′), ce qui prouve que z divise d. Dans le cas de l'anneau Z des entiers rationnels, d est déterminé au signe près puisque les seuls éléments inversibles sont ici + 1 et  − 1 ;[...]

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  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Rapports entre les différents anneaux - crédits : Encyclopædia Universalis France

Rapports entre les différents anneaux

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