ANNEAUX COMMUTATIFS

Définitions équivalentes

Un anneau noethérien est un anneau commutatif unitaire A qui vérifie une des trois conditions de finitude équivalentes suivantes :

Condition (a), dite de chaîne ascendante : « Toute suite strictement croissante d'idéaux est finie », ou encore : « Si :

Condition (b) : « Toute famille non vide d'idéaux a un élément maximal », ce qui signifie que si (a_i)_i ∈ I, I non vide fini ou non, est une famille d'idéaux de A, il existe un indice i₀ pour lequel l'idéal a_i0 n'est contenu strictement dans aucun autre idéal de la famille.

Condition (c) : « Tout idéal est engendré par un nombre fini d'éléments », c'est-à-dire que si a est un idéal de A, il existe des éléments x₁, ..., x_n, en nombre fini, tels que a soit l'ensemble des éléments de la forme a₁x₁ + ... + a_nx_n lorsque a₁, ..., a_n parcourent A indépendamment l'un de l'autre.

Esquissons la démonstration de l'équivalence de ces trois conditions car elle est instructive. Pour montrer que (a) entraîne (b), on raisonne par l'absurde. Si la famille (a_i)_i ∈ I n'admettait pas d'élément maximal, alors pour tout i ∈ I on pourrait trouver j ∈ I tel que l'idéal a_j contienne strictement l'idéal a_i et on pourrait construire ainsi, par récurrence à partir d'un idéal a_i, une suite infinie strictement croissante d'idéaux.

Montrons que (b) entraîne (c). Soit a un idéal et considérons la famille des idéaux de type fini (c'est-à-dire engendré par un nombre fini d'éléments) contenus dans a ; cette famille est non vide car elle contient {0} et par suite elle admet un élément maximal b engendré par des éléments x₁, ..., x_n. Pour tout x de b, l'idéal engendré par les éléments x₁, ..., x_n, x contient b, appartient à la famille d'idéaux considérée et par suite est égal à b puisque b est maximal. Ainsi a = (x₁, ..., x_n).

Pour terminer, montrons que (c) entraîne (a). Soit a_n une suite croissante d'idéaux encastrés. On vérifie que, dans ce cas, la réunion des idéaux a_n est encore un idéal ; d'après (c), cet idéal est engendré par un nombre fini d'éléments x₁, ..., x_n et, par définition d'une réunion, il existe des entiers p₁, ..., p_n tels que x₁∈ a_p1, ..., x_n ∈ a_pn. Il est maintenant clair que, si p est le plus grand des entiers p₁, ..., p_n, on a a_k = a pour k ≥ p.

Exemples d'anneaux noethériens

Par définition, les anneaux de Dedekind, et en particulier, bien entendu, les anneaux principaux, sont des anneaux noethériens. Une source importante d'exemples ne rentrant pas dans les précédents est la remarquable propriété de stabilité suivante, découverte par Hilbert : si A est un anneau noethérien, l'anneau A[X] des polynômes à coefficients dans A est lui aussi noethérien ; par récurrence, ce résultat s'étend[...]